Mostre que a série dada é convergente:

  1. sum_(k = 1)^(+ oo) (- 1)^(k + 1) s i n ( (1)/(k) )

Passo 1

Tomando a_k = s i n ( (1)/(k) )

Teste para série alternada:

  1. a_k d e c r e s c e n t e
  2. underset(k -> oo)(lim) a_k = 0

È necessário que ocorram simultaneamente.

Passo 2

  1. Basta testar se, a_k = 1 > a_k = 2 > a_k = 3 > ...
  2. Temos então

    underset(k = 1)(ubrace sin (1)) > underset(k = 2)(ubrace sin ((1)/(2))) > underset(k = 3)(ubrace sin ((1)/(3))) > ...

    Logo, o item (i) é verdade para essa série no intervalo [ 1 ; + oo [

    Passo 3

  3. Falta testar se:

underset(k -> oo)(lim) s i n ( (1)/(k) ) = 0

Trivialmente percebe-se que o item (ii) é verdade.

Resposta

  1. Portanto, com (i) e (ii) satisfeitos simultaneamente, sum_(k = 1)^(+ oo) (- 1)^(k + 1) s i n ( (1)/(k) ) é convergente.
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