Mostre que a série dada é convergente:

(c) sum_(k = 3)^(oo) (- 1)^(k + 1) ((ln (k))/(k))

Passo 1

Tomando a_k = (ln (k))/(k)

Teste para série alternada:

  1. a_k d e c r e s c e n t e
  2. underset(k -> + oo)(lim) a_k = 0

È necessário que ocorram simultaneamente

Passo 2

  1. Precismos testar se, a_k = 1 > a_k = 2 > a_k = 3 > ...
  2. Então:

    underset(k = 3)(ubrace ((ln (3))/(3))) > underset(k = 4)(ubrace ((ln (4))/(4))) > underset(k = 5)(ubrace ((ln (5))/(5))) > ...

    Logo (i) é satisfeito no intervalo [ 3 ; + oo [

    Passo 3

  3. Portanto reste testar a veracidade de:

underset(k -> + oo)(lim) (ln (k))/(k) = 0

Sabemos que o limite do quociente é o quociente dos limites:

(underset(k -> + oo)(l i m) ln (k))/(underset(k -> oo)(l i m) k) = (oo)/(oo) (i n d e t e r m i n a ç ã o)

Aplicando L’Hopital:

underset(k -> oo)(l i m) a_k^' = underset(k -> oo)(l i m) (((1)/(k))/(1)) = 0

Então (ii) também é satisfeito.

Resposta

Concluimos que sum_(k = 3)^(oo) (- 1)^(k + 1) ((ln (k))/(k)) é convergente.

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