Enunciado

Mostre que a solução do problema de valor inicial

L y = y ' ' + p t y ' + q t y = g t     ,   y t 0 = y 0 ,   y ' t 0 = y 0 '  

pode ser escrita como y = u ( t ) + v ( t ) , em que u e v são soluções dos dois problemas de valor inicial

L u = 0 ,   u t 0 = y 0 ,   u ' t 0 = y 0 '

L v = g t ,   v t 0 = 0 ,   v ' t 0 = 0

respectivamente. Em outras palavras, as partes não homogêneas na equação diferencial e nas condições iniciais podem ser tratadas separadamente. Note que u é fácil de achar, se for conhecido um conjunto fundamental de soluções para L [ u ]   =   0 .

Passo 1

Suponha que y ,   u e v satisfaçam as Eq ( i ) , ( i i )   e ( i i i ) . Assim, teremos:

y ' ' + p t y ' + q t y = g t

E

v ' ' + p t V ' + q t v = g ( t )

Subtraindo a segunda da primeira equação, obtemos:

y ' ' - v ' ' + p t y ' - p t v ' + q t y - q t v = g t - g t = 0

y - v ' ' + p t y - v ' + q t y - v = 0

Vemos que a função y - v é, como u, uma solução complementar. Agora verificamos os valores de y - v e ( y - v ) ' em t 0 :

y - v t 0 = y t 0 - v t 0 = y 0 - 0 = y _ 0

y - v ' t 0 = y ' - v ' t 0 = y ' t 0 - v ' t 0 = y 0 ' - 0 = y 0 '

Vemos que y - v satisfazem as mesmas condições iniciais que u . De acordo com o Teorema da Existência e Exclusividade 3.2 . 1 , existe apenas uma solução que satisfaz as mencionadas. Assim y - v   =   u , ou:

y   =   u   +   v

Resposta

y   =   u   +   v

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