Enunciado

Em cada um dos problemas de 13 a 20, verifique se as funções dadas y 1 e y 2 satisfazem a equação homogênea associada; depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada. Nos Problemas 19 e 20, g é uma função contínua arbitrária.

( 1   –   x ) y ″ + x y ' – y = g ( x ) ,   0 < x < 1 ;   y 1 ( x ) = e x   ,   y 2 ( x ) = x

Passo 1

Nos foi dada a próxima equação. ( 1   –   x ) y ″ + x y ' – y = g ( x )        

Pelo teorema 4.7.2, a solução particular da equação.

y ' ' + p t y ' + q t y = g ( t )

É dado por:

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Onde u 1 é dado por:

u 1 t = - ∫ y 2 t g t W y 1 , y 2 t d t

E u 2 por:

u 2 t = ∫ y 1 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t

Passo 2

Se a nossa equação:

( 1   –   x ) y ″ + x y ' – y = g ( x )        

E é equivalente a:

y ' ' + x 1 - x y ' + 1 1 - x y = g x 1 - x ,   o n d e   0 < x < 1

Então:

g x

Se:

y 1 x = e x     e     y 2 x = x

As derivadas serão:

y 1 ' t = e x

y 2 ' t = 1

Então, o Wronskiano pode ser dado por:

W y 1 , y 2 = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = e x x e x 1

W = 1 . e x - x e x

W = e x ( 1 - x )

A solução homogênea pode ser dada por:

y = c 1 e x + c 2 x

Passo 3

Aplicando as fórmulas do passo 1, podemos calcular também u 1 e u 2 :

Se :

W = e x ( 1 - x )

g x = g ( x ) ( 1 - x )

Onde u 1 é dado por:

u 1 t = - ∫ y 2 t g t W y 1 , y 2 t d t = - ∫ x . g ( x ) e x 1 - x x d x

E u 2 por:

u 2 t = ∫ y 1 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t = ∫ e x . g ( x ) e x 1 - x 2 d x = ∫ g ( x ) 1 - x 2 d x

A solução particular pode ser dada por:

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Y t = x ∫ g ( t ) 1 - t 2 d t - e x ∫ t . g ( x ) e t 1 - t 2 d x

Resposta

Y t = x ∫ g ( t ) 1 - t 2 d t - e x ∫ t . g ( x ) e t 1 - t 2 d x

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