Mostre que, para todo natural n , tem-se

int_0^((pi)/(2)) s e n^(2 n + 2) x d x <= int_0^((pi)/(2)) s e n^(2 n + 1) x d x <= int_0^((pi)/(2)) s e n^(2 n) x d x

Passo 1

No item (a), provamos que

int_0^(pi // 2) s e n^n x d x = (n - 1)/(n) int_0^(pi // 2) s e n^(n - 2) x d x , n >= 2

A demonstração desse item (b) -e bem simples na verdade. Sabemos que para 0 <= x <= pi // 2 , temos que o seno respeita:

0 <= s e n x <= 1

Aqui vai uma provocação, considere o número N = 1 // 2 . Note que

N^1 = (1)/(2)

N^2 = (1)/(4)

N^3 = (1)/(8)

Portanto,

N^3 < N^2 < N^1

Isso vale para qualquer N entre que satisfaça 0 < N < 1 :

N^k < N^p , k > p

Legal! Com isso, podemos escrever que no intervalo 0 < x < pi // 2

s e n^(2 n + 2) x < s e n^(2 n + 1) x < s e n^(2 n) x

Adicionando os extremos do intervalo: 0 <= x <= pi // 2 , temos que

s e n^(2 n + 2) x <= s e n^(2 n + 1) x <= s e n^(2 n) x

Passo 2

Agora vamos lembrar de outra relação importante. Se g (x) <= f (x) para todo x in I = [ a , b ] , temos que

int_a^b g (x) d x <= int_a^b f (x) d x

Portanto, como no intervalor I = [0 , pi // 2] temos que

s e n^(2 n + 2) x <= s e n^(2 n + 1) x <= s e n^(2 n) x

Segue imediatamente que

int_0^((pi)/(2)) s e n^(2 n + 2) x d x <= int_0^((pi)/(2)) s e n^(2 n + 1) x d x <= int_0^((pi)/(2)) s e n^(2 n) x d x

Resposta

Demonstração.

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