Utilizando transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha )
2. com
Passo 1
Primeiramente, vamos relembrar que diaxo é transformada de Laplace; basicamente é o seguinte:
“Seja uma função qualquer definida em , a função é chamada de transformada de Laplace de :
Top, mas como isso se aplica quando estamos falando de equações diferenciais?
É bem tranquilo, basta aplicar a Transformada em ambos os lados da .
Ou seja, como queremos encontrar uma solução para , então:
Passo 2
Voce já deve ter ouvido falar que uma Transformada de Laplace “destrói” derivadas.
Mas o que isso significa? Basicamente é o seguinte:
Novamente, seja definida em temos o seguinte:
Sacou??
Se substituirmos isso na nossa transformada:
Como nossa condição incial:
Vamos ficar com:
Passo 3
Vamos invocar uma tabelinha muito show,
Repare, que vamos ter o seguinte:
E
Essa ainda não é nossa resposta, pois temos aí uma função chamada de transformada de Laplace de .
Na verdade queremos encontrar um que satisfaz a equação diferencial, ou seja, precisamos tomar a transformada inversa.
É bem simples, só precisamos fazer frações parciais:
Dando uma arrumada e estabelecendo uma relação em ambos os lados da igualdade:
Trivialmente chegamos a seguinte conclusão:
Retornando na transformada:
E então:
Como temos que tomar a inversa da transformada, olhemos novamente na tabela, e você perceberá o seguinte:
E
Substituindo:
Portanto, concluímos que:
Resposta
Concluimos então que a equação diferencial admite uma solução do tipo: