Utilizando transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha t >= 0. )

2. x˙ + 4x = cos(t) com x(0) = 0

Passo 1

Primeiramente, vamos relembrar que diaxo é transformada de Laplace; basicamente é o seguinte:

“Seja f   uma função qualquer definida em [ 0 ; + ∞ [ , a função g   é chamada de transformada de Laplace de f :

g ( s ) = ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t "

Top, mas como isso se aplica quando estamos falando de equações diferenciais?

É bem tranquilo, basta aplicar a Transformada em ambos os lados da E D L .

Ou seja, como queremos encontrar uma solução para x ˙ + 4 x = cos ⁡ t , então:

∫ 0 + ∞ e - s t x ˙ + 4 x d t = ∫ 0 + ∞ e - s t cos ⁡ t d t

∫ 0 + ∞ e - s t   x ˙   d t + 4 ∫ 0 + ∞ e - s t   x   d t = ∫ 0 + ∞ e - s t cos ⁡ t d t  

Passo 2

Voce já deve ter ouvido falar que uma Transformada de Laplace “destrói” derivadas.

Mas o que isso significa? Basicamente é o seguinte:

Novamente, seja f definida em [ 0 ; + ∞ [ temos o seguinte:

∫ 0 + ∞ e - s t f ' t d t = s   ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t - f ( 0 )

Sacou??

Se substituirmos isso na nossa transformada:

s   ∫ 0 + ∞ e - s t   x d t - x 0 ⏟ ∫ 0 + ∞ e - s t   x ˙   d t + 4 ∫ 0 + ∞ e - s t   x   d t = ∫ 0 + ∞ e - s t cos ⁡ t d t  

Como nossa condição incial: x 0 = 0

Vamos ficar com:

s + 4 ∫ 0 + ∞ e - s t   x   d t = ∫ 0 + ∞ e - s t cos ⁡ t d t  

Passo 3

Vamos invocar uma tabelinha muito show,

Repare, que vamos ter o seguinte:

s + 4 ∫ 0 + ∞ e - s t   x   d t = s s 2 + 1

E

∫ 0 + ∞ e - s t   x   d t = s s 2 + 1 s 2 + 4

Essa ainda não é nossa resposta, pois temos aí uma função g ( s ) chamada de transformada de Laplace de x ( t ) .

Na verdade queremos encontrar um x ( t ) que satisfaz a equação diferencial, ou seja, precisamos tomar a transformada inversa.

É bem simples, só precisamos fazer frações parciais:

s s 2 + 1 s 2 + 4 = A s + B s 2 + 1 + C s + D s 2 + 4 = ( A s + B ) s 2 + 4 + ( C s + D ) ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 4 )

Dando uma arrumada e estabelecendo uma relação em ambos os lados da igualdade:

A s 3 + 4 A s + B s 2 + 4 B + C s 3 + C s + D s 2 + D = s

A + C s 3 + B + D s 2 + 4 A + C s + 4 B + D = s

A + C = 0 B + D = 0 4 A + C = 1 4 B + D = 0

Trivialmente chegamos a seguinte conclusão:

B = D = 0     e     A = - 1 3   ,   C = 1 3

Retornando na transformada:

∫ 0 + ∞ e - s t   x   d t = A s + B s 2 + 1 + C s + D s 2 + 4

E então:

∫ 0 + ∞ e - s t   x   d t = s 3 s 2 + 4 - s 3 s 2 + 1

Como temos que tomar a inversa da transformada, olhemos novamente na tabela, e você perceberá o seguinte:

∫ 0 + ∞ e - s t cos ⁡ 1 t d t = s s 2 + 1

E

∫ 0 + ∞ e - s t cos ⁡ 2 t d t = s s 2 + 2 2 = s s 2 + 4

Substituindo:

∫ 0 + ∞ e - s t   x   d t = 1 3 ∫ 0 + ∞ e - s t cos ⁡ 2 t d t - 1 3 ∫ 0 + ∞ e - s t cos ⁡ t d t

Portanto, concluímos que:

x = 1 3 cos ⁡ 2 t - cos ⁡ t

Resposta

Concluimos então que a equação diferencial admite uma solução do tipo:

x t = 1 3 cos ⁡ 2 t - cos ⁡ t

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