Enunciado

Olhando para o gráfico, estude a variação do sinal de f ( x ) .

j ) f x = - x 2 + 2 x - 3

Passo 1

Primeiro vamos começar pelo esboço dessa função. Ela é uma funçãod e segundo grau, portanto a cara dela é de uma parábola. Para esboçar uma parábola precisamos determinar quatro pontos principais: as duas raíses, o ponto onde a função corta o eixo y e o vértice. Vamos lá?

Primeiro as raízes: f x = 0

- x 2 + 2 x - 3 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara com a = - 1 ,   b = 2 ,   c = - 3 temos:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 2 ± 2 2 - 4 . ( - 1 ) . ( - 3 ) 2 . ( - 1 )

Xiiii! Aqui Δ < 0 e isso significa que essa função não admite raízes reais! A parábola vai estar “voando”, mas tudo bem! Isso só significa que a função assme valores negativos (pois a < 0 ) para qualquer valor de x ! Mas vamos terminar de determinar os pontos e esboçar o gráfico para confirmar isso, ok?

Passo 2

Agora vamos pros outros dois? Bola lá! O ponto onde a função corta o eixo y é onde x = 0 :

f 0 = - 0 2 + 2.0 - 3 = - 3

Então o ponto no qual a função cruza o eixo y é o ( 0 , - 3 ) .

Passo 3

Por último o vértice:

x v = - b 2 a = - 2 2 . - 1 = 1

y v = - Δ 4 a = - ( - 9 ) 4 . - 1 = - 9 4

Assim temos o vértice 1 ,   - 9 4 . Como o coeficiente a é menor do que zero, a parábola tem boca para baixo. Juntando os quatro pontos, podemos construir o gráfico:

Beleza! Agora sim podemos analisar o sinal da função!

A função assume apenas valores negativos!

Sendo assim temos:

f x < 0 :   p a r a   t o d o   x

Certo? Vamos pra próxima?

Resposta

f x < 0 :   p a r a   t o d o   x

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