Enunciado

Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo O x sob a ação da força elástica - 2 x i → e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade dada por   - 2 x ˙   i → . Determine a equação horáriado movimento supondo   x 0 = 0   e   x ˙ 0 = 1

Passo 1

Imagine que temos uma bancada ou uma mesa, e que a largura da mesa é o eixo   x , em cima dessa mesa temos uma partícula que está sofrendo uma força elástica e uma força de amortecimento proporcional a velocidade.

Vamos entender o que tudo isso quer dizer:

A velocidade é v = d s d t sendo que nosso espaço é o quanto a partícula desloca no eixo x , ou seja: v = d x d t = x ˙

Essa força de amortecimento é proporcional à velocidade, ou seja, tem um coeficiente de proporcionalidade que multiplica a velocidade e temos essa força de amortecimento. No caso dado é 2 , assim temos que a f o r ç a   d e   a m o r t e c i m e n t o = 2 x ˙ (o – i quer dizer que ele está no sentido contrário ao eixo x ).

A força elástica é dada por:

F e = k x

Para esse caso k = 2 por isso temos:   F e = k x = 2 x (o – i quer dizer que ele está no sentido contrário ao eixo x ).

Sabemos que o somatório de forças em x   é igual a f o r ç a   r e s u l t a n t e = m a

Sendo que o exercício diz que m = 1 e sabemos que a = d v d t = d d t d s d t = d 2 s d t 2 que, como já vimos acima, como ela se desloca sobre o eixo x teremos:   a = d 2 x d t 2 = x ¨

Assim:

∑ F x = m a → - 2 x i → - 2 x ˙   i → = x ¨ i → → 0 = x ¨ i → + 2 x ˙   i → + 2 x i → → x ¨ + 2 x ˙ + 2 x i → = 0

Passo 2

Agora que sabemos qual a relação com as forças vamos tentar achar a relação x = x t

Se usarmos, para esse caso que x = e λ t → x ˙ = λ e λ t → x ¨ = λ 2 e λ t , assim:

x ¨ + 2 x ˙ + 2 x = 0 → λ 2 e λ t + 2 λ e λ t + 2 e λ t = e λ t λ 2 + 2 λ + 2 = 0 → λ 2 + 2 λ + 2 = 0

λ 2 + 2 λ + 2 = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

λ ' e   λ " =   - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Para o caso dado só temos a = 1 ,   b = 2   e   c = 2 , assim:

λ ' e   λ " =   - 2 ± 2 2 - 4 1 2 2 1 = - 1 ± - 4 2  

Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que i 2 = - 1 :

- 1 ± 4 i 2 2 = - 1 ± ( 2 i ) 2 2 = - 1 ± 2 2 i = - 1 ± i  

Identificados os valores de   λ , podemos Agora reescrever o y pelo teorema que diz que se temos duas raízes λ 1   e   λ 2 da equação característica (ou seja, a função λ 2 + b λ + c = 0 ), então se λ 1 e   λ 2 são números complexos podemos afirmar que:

x t = e α t A cos ⁡ β t + B sin ⁡ β t   A ,   B   ϵ R

Lembrando que: λ = α ±   β i

Para o nosso caso: α = - 1   e   β = 1

Assim, substituindo os valores de α   e   β :

x t = e - 1 t A cos ⁡ 1 t + B sin ⁡ 1 t   = e - t A cos ⁡ t + B sin ⁡ t  

x ˙ t = - e - t A cos ⁡ t + B sin ⁡ t + e - t - A sin ⁡ t + B cos ⁡ t =

= e - t - A cos ⁡ t + B sin ⁡ t + - A sin ⁡ t + B cos ⁡ t

= e - t cos ⁡ t B - A + sin ⁡ t - B - A

x ˙ t = e - t cos ⁡ t B - A + sin ⁡ t - B - A

Passo 3

Agora que achamos essas duas relações podemos substituir os valores:

x 0 = e - 0 A cos ⁡ 0 + B sin ⁡ 0   = A + 0 → A = 0

x ˙ 0 = e - 0 cos ⁡ 0 B - A + sin ⁡ 0 - B - A = - A + B → B - A = 1 → B = 1

Assim:

x t = e - t A cos ⁡ t + B sin ⁡ t   = e - t 0 × cos ⁡ t + 1 × sin ⁡ t   = e - t sin ⁡ t

Resposta

x t = e - t 0 × cos ⁡ t + 1 × sin ⁡ t   = e - t sin ⁡ t

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