Lista de Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

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Considere a equação diferencial y ' ' + p x y ' + q x y = 0 , com p x e q x funções reais.

Sabendo que y 1 x = e x e y 2 x = x 2 são soluções da equação, determine p x e q x .

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Seja a equação diferencial E   : y ' ' - 6 y ' + 9 y = 0 . Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(a) A função y t = e 3 t - t e 3 t é a única solução de ( E ) verificando y 0 = 1 e y ' 0 = 2 .

(b) O real 3 é raiz simples da equação característica associada.

(c) A função y t = e - 3 t + 5 t e 3 t é uma solução de ( E ) verificando y 0 = 1 e y ' 0 = 2 .

(d) A função y t = t ( e t + e 3 t ) é solução de ( E ) .

(e) Nenhuma das outras alternativas.

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Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo:

y ' ' t - 6 y ' t + 8 y t = 0 y 0 = 0 y ' 0 = 2

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Determine a solução geral y ( x ) da equação diferencial de segunda ordem

y ' ' + y = 0

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Considere a equação diferencial y ' ' + y ' - c y = 0 . Qual o valor de c de modo a que a função y t = 3 t e - t 2 seja solução da equação diferencial?

(a) c = 0

(b) c = 2

(c) c = 1

(d) c = - 1

(e) c = - 1 / 4

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Uma EDO de segunda ordem, linear homogênea, com coeficientes constantes, com solução geral da forma

x t = c 1 + c 2 t e 3 t

onde c 1 e c 2 são constantes arbitrárias, é:

(a) x ' ' - 6 x ' + 9 x = 0

(b) x ' ' - 9 x = 0

(c) x ' ' + 3 x ' + 3 x = 0

(d) x ' ' + 9 x = 0

(e) Nenhuma das demais alternativas.

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Para s ∈ R um parâmetro real, considere a equação diferencial

y ' ' t + s y t = 0           ( * )

Para quais valores do parâmetro s a equação ( * ) admite uma solução y satisfazendo y 0 = 0 e y 1 = 1 ?

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Seja f : R → R contínua e considere a equação diferencial

y ' ' + 2 f x y ' + f x 2 y = 0

i) Determine f ( x ) tal que a função y ( x ) = e - x seja solução da equação.

ii) Escreva a formula geral da equação achada no item (i).

iii) Ache a solução particular da equação do item (i) definida pelas condições iniciais y 0 = 0 ,       y ' 0 = 1 .

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Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes a y ' ' + b y ' + c y = 0

  1. Determine a , b e c tais que as funções y 1 x = e 2 x cos ⁡ x e y 2 x = e 2 x sen ⁡ x sejam as soluções da equação
  2. Encontre a solução geral da equação a y ' ' + b y ' + c y = x

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Considere a equação diferencial

                y ' ' + 2 y ' + 2 y = 0                                           ( * )

( a ) Defina u x = e x y ( x ) , e mostre que u ( x ) satisfaz a equação

u ' ' + u = 0

( b ) Resolva a equação acima e obtenha a solução geral de ( * ) usando u ( x ) .

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Verifique, justificando a sua resposta, se 4 e - x   é solução para a e quação diferencial y ´ ´ - y = 0 .

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Encontre a função y ( t ) , que é a solução da equação diferencial a seguir: d 2 y d t 2 + 5 d y d t + 4 y ( t ) =   0 , com y ( 0 ) =   1 e y ' ( 0 ) =   0

( ) y t = 5 3 e - t + 2 3 e - 4 t  

( ) y t = 4 3 e - t - 1 3 e - 4 t

( ) y t =   - 4 3 e - t   - 1 3 e - 4 t

( ) y t = 4 3 e - t - 1 3 e 4 t    

( )   y ( t ) = 4 3 e - t + 1 3 e -   4 t

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Marque a alternativa que indica a solução da equação y "   +   4 y   =   0 .

( ) y   =   C 1 c o s 3 t   +   C 2 s e n 3 t

( ) y   =   C 1 c o s 6 t   +   C 2 s e n 2 t

( ) y   =   C 1 c o s t   +   C 2 s e n t

( )   y   =   C 1 c o s 4 t   +   C 2 s e n 4 t

( )   y   =   C 1 c o s 2 t   +   C 2 s e n 2 t

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Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea.

1 .     y ' ' - 36 y = 0

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Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea.

2 .     y ' ' + 9 y = 0

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Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea.

3 .     y ' ' - y ' - 6 y = 0

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Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea.

4 .   d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 1 6 y = 0

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Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea.

5 .     y ' ' + 3 y ' - 5 y = 0

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Encontre todas as soluções da EDO: y ' ' - 8 y = 0

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Encontre a solução da EDO:

y ' ' + 8 y ' + 16 y = 0

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Encontre todas as soluções da EDO:

3 y ' ' + 2 y ' + y = 0

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Resolva as seguintes equações diferenciais, e problemas de valor inicial.

y ' ' - 4 y ' + 29 y = 0

y 0 = 0

y ' 0 = - 1

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Resolva os seguintes problemas de valor inicial

d) y ' ' - 4 y ' + 13 y = 0 y 0 = - 1 ,   y ' 0 = 2

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Sabe-se que y " + a y ' + b y = 0 tem como solução geral y = e - x c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n 2 x , onde c 1 , c 2 ∈ R . Então, quanto valem a e b ?

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Determine y = y ( t ) solução geral da equação

y ' ' + 6 y ' + 9 y = 0

e calcule lim t → + ∞ ⁡ y ( t )

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Escreva uma EDO de segunda ordem, linear, homogênea, com coeficientes constantes, com solução geral da forma x t = e 2 t C 1 cos ⁡ 3 t + C 2 sin ⁡ 3 t , onde C 1 e C 2 são constantes arbitrárias.

a x ' ' + 6 x ' + 13 x = 0

b x ' ' - 6 x ' + 13 x = 0

c x ' ' + 4 x ' + 13 x = 0

d x ' ' - 4 x ' + 13 x = 0

e x ' ' - 5 x ' + 6 x = 0

f Não existe EDO com as propriedades requeridas.

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Determine a solução geral da equação diferencial linear de 2ª ordem homogênea com coeficientes constantes:

y ' ' + y ' + y = 0

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Considere a equação diferencial y ' ' + 6 y ' + 13 y = 0 .

  1. Encontre a solução geral da equação diferencial.
  2. Determine lim t → ∞ ⁡ y t .
  3. Resolva o problema de valor inicial com condições iniciais y 0 = 0 , y ' 0 = 4 .

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Questão 1: Resolva as seguintes equações diferenciais e problemas de valor inicial, conforme seja o caso:

e )   2 y ' ' - 2 y ' + y = 0 ,       y 0 = 5 ,   y ' 0 = 10

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Questão 2: Determine todos os valores de λ para os quais o seguinte problema da EDO com condições de contorno tem ao menos uma solução diferente de 0 .

u ' ' + 2 u ' = λ u , u 0 = 0 u 1 = 0

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Questão 3: A função y x = e x cos ⁡ x , ∀ x ∈ R , é a solução de qual das equações abaixo?

  1. y ' ' - 2 y ' + 2 y = 0
  2. y ' ' + y = 0
  3. y ' ' + y = e x cos ⁡ x
  4. y ' ' - 2 y ' + 2 y = x
  5. y ' ' - y = e x

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Verifique, justificando a sua resposta , se sen ⁡ x é solução para a equação diferencial y ´ ´ - y = 0 .

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Verifique se y = e x é uma solução da EDL:

y ' ' = 1 2 y ' + y

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Verifique, justificando sua resposta, se e x é solução para a equação diferencial y ' ' - y ' = 0

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Das alternativas a seguir identifique qual é a solução para o problema de valor inicial y ' ' + 16 y = 0 ,   y ( 0 ) = 0   e   y ' ( 0 ) = 1

  cos ⁡ x

  sen ⁡ 4 x

  s en ⁡ x

    1 / 4   sen ⁡ 4 x

  cos ⁡ x 2  

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Questão 4: Encontre todos os valores de λ ∈ R , e todas as soluções associadas, para os quais existem soluções não-nulas do problema de valor de contorno (para L > 0 ):

y ' ' + λ y = 0

y 0 = 0 d y d x L = 0

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Seja b > 0 uma constante. Se y = y ( x ) é uma solução não nula da equação d 2 y d x 2 - b d y d x + y = 0 , então lim x → - ∞ ⁡ y x :

  1. Não existe e tende a + ∞
  2. Existe e vale π
  3. Não há dados suficientes para calcular
  4. Não existe e tende a - ∞
  5. Existe e vale 0

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Sabe-se que y = C 1 cos ⁡ 2 t + C 2 sin ⁡ 2 t é a solução de y ' ' + a y ' + b y = 0 . Quanto valem a e b ?

a)   a = 4 e b = 0

b)   a = 2 e b = 4

c) a = 0 e b = 4

d)   a = 2 e b = 2

e)   a = 1 e b = 2

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