Enunciado

Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta, em t segundos, s é a distância orientada da partícula até a origem, v m/s é a sua velocidade e a m/s² é a sua aceleração. (27) a = 18 s e n 3 t ; v = - 6   e   s = 4   q u a n d o   t = 0 . Expresse v e s em termos de t.

Passo 1

Quando temos uma partícula se movendo em linha reta, podemos dizer que a equação de movimento é dada por s = f ( t ) , então a velocidade e a aceleração instantâneas podem ser determinadas pelas expressões v = d s d t   e   a = d v d t o u   a = d v d s d s d t   . Assim, se nos for dado v ou a como uma função de t, bem como condições iniciais, é possível determinar a equação de movimento resolvendo uma equação diferencial.

O nosso exercício nos dá a aceleração como uma função do tempo e pede para que achemos a distância e a velocidade em termos do tempo. Vamos escrever a nossa equação diferencial.

a = d v d t = 18 s e n 3 t d v = ( 18 s e n 3 t ) d t ∫ d v = ∫ ( 18 s e n 3 t ) d t

Passo 2

Resolvendo a integral teremos:

∫ d v = ∫ ( 18 s e n 3 t ) d t

v = - 18 c o s 3 t 3 + K 1 v = - 6 c o s 3 t + K 1

Passo 3

Aplicando as condições iniciais para a velocidade, temos:

v = - 6   q u a n d o   t = 0 - 6 = - 6 c o s ⁡ ( 3 * 0 ) + K 1 - 6 = - 6 c o s ⁡ ( 0 ) + K 1 - 6 = - 6 + K 1 K 1 = 0

Portanto,

v = - 6 c o s ⁡ ( 3 t )

Passo 4

Vamos agora encontrar a equação da distância em função de t:

v = d s d t = - 6 c o s ⁡ ( 3 t ) d s = - 6 c o s ⁡ ( 3 t ) d t ∫ d s = ∫ - 6 c o s ⁡ ( 3 t ) d t s = - 6 s e n 3 t 3 + K 2 s = - 2 s e n 3 t + K 2

Passo 5

Aplicando as condições iniciais temos:

s = 4   q u a n d o   t = 0 4 = - 2 s e n ( 3 * 0 ) + K 2 4 = - 2 s e n ( 0 ) + K 2 4 = K 2 K 2 = 4 Portanto,

s = - 2 s e n 3 t + 4

Resposta

As expressões de v e s em função de t são:

v = - 6 c o s ⁡ 3 t

s = - 2 s e n 3 t + 4

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