8. Uma pessoa jovem sem capital inicial investe k reais por ano a uma taxa anual de retorno r. Suponha que os investimentos são feitos continuamente e que o retorno é capitalizadocontinuamente.(a) Determine a quantia S(t) acumulada em qualquer instante t.
Passo 1
Opa! Belezinha?
O enunciado nos disse que uma pessoa investe continuamente reais por ano a uma taxa de retorno anual , com capitalização contínua e sem capital inicial .
Queremos determinar a quantia acumulada em qualquer instante .
Para isso, temos que saber que a situação é descrita por uma equação diferencial que combina:
Juros compostos contínuos (onde o crescimento é proporcional ao montante atual):
E os aportes contínuos , que é o valor constante adicionado por unidade de tempo.
Com isso, a nossa equação diferencial tem a seguinte cara:
Agora, basta calcularmos essa equação diferencial sabendo que a condição dada é:
Passo 2
A seção deste capítulo nos dá a dica de como é a equação de juros com aportes constantes
Temos agora que descobrir nosso valor da constante arbitraria usando os dados de contorno
Isso faz com que nossa equação fique
Logo podemos reescrever nossa função como
Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )