8. Uma pessoa jovem sem capital inicial investe k reais por ano a uma taxa anual de retorno r. Suponha que os investimentos são feitos continuamente e que o retorno é capitalizadocontinuamente.(a) Determine a quantia S(t) acumulada em qualquer instante t.

Passo 1

Opa! Belezinha?

O enunciado nos disse que uma pessoa investe continuamente k reais por ano a uma taxa de retorno anual r , com capitalização contínua e sem capital inicial S 0 = 0 .

Queremos determinar a quantia acumulada S ( t ) em qualquer instante t .

Para isso, temos que saber que a situação é descrita por uma equação diferencial que combina:

Juros compostos contínuos (onde o crescimento é proporcional ao montante atual):

d S d t = r S t

E os aportes contínuos k , que é o valor constante adicionado por unidade de tempo.

Com isso, a nossa equação diferencial tem a seguinte cara:

d S d t = r S t + k

Agora, basta calcularmos essa equação diferencial sabendo que a condição dada é:

S 0 = 0

Passo 2

A seção deste capítulo nos dá a dica de como é a equação de juros com aportes constantes

S t = c e r t - k r

Temos agora que descobrir nosso valor da constante arbitraria C usando os dados de contorno

S 0 = 0

Isso faz com que nossa equação fique

0 = C - k r

C = k r

Logo podemos reescrever nossa função como

S t = c k r - k r

S t = k r e r t - 1

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

S t = k r e r t - 1

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