Enunciado

O plano que passa pelo ponto ( - 1,2 , 1 ) e contém a reta intersecção dos planos x + y - z = 2 e 2 x - y + 3 z = 1 .

Passo 1

Olá, tudo bem? Bom, você já sabe que para determinar a equação de um plano são necessárias duas coisas:

  1. Vetor normal ao plano;
  2. Ponto pertencente ao plano.

Pois bem! Primeiro vamos determinar um vetor que seja paralelo à reta de interseção. E achamos esse vetor fazendo o produto vetorial entre os vetores diretores dos planos. Esse vetor vai pertencer ao plano que queremos e pertencer à reta.

Um segundo vetor poderia ser um vetor que ligasse essa reta ao ponto P dado, assim o ponto estaria presente nesse plano. Assim teremos dois vetores que pertencem a esse plano. Mas para a equação do plano precisamos de um vetor NORMAL ao plano. Então o que fazer? Produto vetorial entre esses dois vetores! E acabou?

Não! Ainda precisamos do ponto. Ah, mas esse é tranquilo, o enunciado dá o ponto P , então vamos usar ele e colocar na equação do plano!

Bom, agora que tracei a estratégia, vamos resolver?

Passo 2

Vou denominar os planos e seus respectivos vetores diretores:

π 1 : x + y - z = 2 , e seu vetor: v → 1 =   ( 1 , 1 , - 1 )

π 2 : 2 x - y + 3 z = 1 , e seu vetor: v → 2 =   ( 2 , - 1,3 )

Agora vou determinar o vetor que seja ortogonal aos dois (e que vai pertencer ao plano que quero, pois ele é paralelo à reta de intersecção):

a → = v → 1 × v → 2 = i → j → k → 1 1 - 1 2 - 1 3 = i → 3 - 1 + j → - 2 - 3 + k → ( - 1 - 2 )

a → = ( 2 , - 5 , - 3 )

Agora vamos determinar o segundo vetor que vai pertencer ao plano?

Passo 3

Vou calcular um outro vetor a partir de um ponto dessa intersecção dos planos e o ponto P . Primeiro vou achar esse ponto (vou chamar de P 0 ). Aqui é simples, temos que resolver um sistema. Mas temos duas equações e três incógnitas! Não rola! Será?

Quando fazemos a interseção de dois planos o resultado é uma reta com infinitos pontos. Pra determinar apenas um podemos fixar uma das variáveis, fazendo, por exemplo, x = 0 . Assim o que teremos é a interseção de duas retas, e daí sim um sistema com apenas uma solução.

Dá uma olhada no passo 2 e lembra das equações dos planos:

π 1 : x + y - z = 2

π 2 : 2 x - y + 3 z = 1

Fazendo x = 0 (poderia ser qualquer valor! Escolhi zero por simplicidade mesmo) nas equações ali em cima ficamos:

y - z = 2 - y + 3 z = 1

Fazendo a soma dessas duas equações temos:

- z + 3 z = 2 + 1

2 z = 3 ∴ z = 3 / 2

E usando qualquer uma das equações podemos achar y :

y = 2 + z = 2 + 3 2 = 7 / 2

Assim o ponto P 0 é ( 0 ,   7 / 2   ,   3 / 2 ) . E o vetor que liga P 0 e P é:

b → = 0 , 7 2 , 3 2 - - 1 ,   2 ,   1 = ( 1 , 3 2 , 1 2 )

Passo 4

Agora podemos achar o vetor que é normal ao plano:

c → = a → × b → = i → j → k → 2 - 5 - 3 1 3 / 2 1 / 2 = i → - 5 2 + 9 2 + j → - 3 - 1 + k → ( 3 + 5 )

c → = 2 i → + 4 j → + 8 k → = ( 2 , - 4,8 )

Passo 5

Eba! Estamos quase lá! Agora que temos um vetor normal ao plano e um ponto (o enunciado pediu que o plano passasse por P = ( - 1,2 , 1 ) ) é só jogar tudo isso na equação do plano:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Lembrando que ( a , b , c ) são as coordenadas do vetor normal e x 0 , y 0 , z 0 são as coordenadas do ponto.

2 x + 1 - 4 y - 2 + 8 z - 1 = 0

2 x - 4 y + 8 z + 2 + 8 - 8 = 0

2 x - 4 y + 8 z + 2 = 0

E podemos deixar a resposta mais simplificada, dividindo tudo por 2 :

x - 2 y + 4 z = - 1

Obs! Se fizermos o produto vetorial entre b → × a → , vamos encontrar um vetor de mesmo módulo que c → , porém sentido oposto. E tudo bem! A equação final também será válida! Desde que respeitemos o sentido dos vetores ;)

Vamos pra próxima?

Resposta

x - 2 y + 4 z = - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas de 2 a 10, determinar a equação geral do plano2) paralelo ao plano π : 2 x - 3 y - z + 5 = 0 e que contém A 4 ,- 1 ,2 ;
Nos problemas de 2 a 10, determinar a equação geral do plano7) paralelo ao eixo dos x e que contém os pontos A ( - 2 ,0 ,2 ) e B ( 0 ,- 2 ,1 ) ;
Estabelecer equações paramétricas do plano determinado pelos pontos A ( 1 ,1 ,0 ) , B ( 2 ,1 ,3 ) e C ( - 1 ,- 2 ,4 ) .
Dada a equação geral do plano π : 3 x - 2 y - z - 6 = 0 , determinar um sistema de equações paramétricas de π .
Nos problemas 55 e 56, determinar a equação geral do plano que contém o ponto A e a reta e interseção dos planos π 1 e π 2 : A - 1 , 2 , 0π 1 : 2 x - y = 0 π 2 : x + y - z - 4 = 0