Enunciado

Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada.

x 3 y ' ' ' - 6 y = 0

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Olha só, a gente quer resolver essa EDO de segunda ordem aqui:

x 3 y ' ' ' - 6 y = 0

Temos aqui uma equação homogênea. Pra resolver esse tipo de equação, escrevemos y = x m , que é a forma da nossa resposta.

Bom, aí vamos ter:

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

y ' ' ' = m m - 1 m - 2 x m - 3  

Agora a gente vai substituir na EDO e tentar encontrar m , bora!

Passo 2

Substituindo, vamos ter:

x 3 y ' ' ' - 6 y = 0

x 3 m m - 1 m - 2 x m - 3   - 6 x m = 0

x m m 3 - 3 m 2 + 2 m - 6 x m = 0

x m m 3 - 3 m 2 + 2 m - 6 = 0

Daqui a gente tem que     m 3 - 3 m 2 + 2 m - 6 = 0 , já que x m ≠ 0 sempre. E resolvendo isso...

Passo 3

Resolvendo...

  m 3 - 3 m 2 + 2 m - 6 = 0

m - 3 m 2 + 2 = 0

m 1 = 3 ;     m 2 = 2 i ;     m 3 =   - 2 i

Temos então duas raízes complexas e uma real:

y = c 1 x m 1 + x α c 2 cos ⁡ ( β ln ⁡ x ) + c 3 sen ⁡ β ln ⁡ x

Onde α é a parte real e β é a parte imaginária...

A nossa solução então é:

y = c 1 x 3 + c 2 cos ⁡ ( 2 ln ⁡ x ) + c 3 sen ⁡ 2 ln ⁡ x

E prontinho! 😉

Resposta

y = c 1 x 3 + c 2 cos ⁡ ( 2 ln ⁡ x ) + c 3 sen ⁡ 2 ln ⁡ x

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