Enunciado

Nos problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.

18. y ' ' + 10 y ' + 25 y = e - 10 x x 2

Passo 1

Então pessoal, para resolvermos uma equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros precisamos, assim como já estamos acostumados, encontrar duas soluções: a solução complementar e a solução particular. A solução complementar é encontrada da maneira que já conhecemos mesmo, encontrando as raízes da equação característica. Já para encontrarmos a solução particular devemos fazer o seguinte:

Uma vez que encontramos a solução complementar teremos que a função que acompanha c 1 é y 1 , a função que acompanha c 2 é y 2 e a função de x que fica na direita da nossa equação diferencial é f x . Identificado isso, precisamos resolver os determinantes Wronskianos abaixo:

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 '

W 1 = 0 y 2 f x y 2 '

W 2 = y 1 0 y 1 ' f x

Feito isso, depois precisamos integrar as seguintes funções:

u 1 ' = W 1 W   e   u 2 ' = W 2 W

Pois a nossa solução particular vai ter o seguinte formato:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

Pareceu difícil, galera? Então bora descomplicar isso aí! Praticando alguns exercícios tenho certeza que a ideia vai ficar muuuito mais clara! Chega mais!

Passo 2

Assim como comentamos no passo anterior, a primeira coisa a se fazer é encontrar y c , certo? Show! Nossa equação é:

y ' ' + 10 y ' + 25 y = e - 10 x x 2

Fazendo as substituições y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 , teremos:

m 2 + 10 m + 25 = 0

E então encontramos que:

m 1 = m 2 = - 5

Como as raízes são reais e idênticas então teremos a seguinte solução complementar, galera:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 x e m 2 x

y c = c 1 e - 5 x + c 2 x e - 5 x

Que nos diz o seguinte:

y 1 = e - 5 x

y 2 = x e - 5 x

Topzeeera! Primeira etapa concluída!

Passo 3

Além das funções que identificamos no passo anterior, tendo em vista a equação diferencial que nos foi dada, tiramos que:

f x = e - 10 x x 2

Então agora precisamos resolver os determinantes! Se liga:

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = e - 5 x x e - 5 x - 5 e - 5 x e - 5 x - 5 x e - 5 x = e 10 x

W 1 = 0 y 2 f x y 2 ' = 0 x e - 5 x e - 10 x x 2 e - 10 x x 2 = - e - 15 x x

W 2 = y 1 0 y 1 ' f x = e - 5 x 0 - 5 e - 5 x e - 10 x x 2 = e - 15 x x 2

Agora que determinamos os determinantes, temos que os parâmetros variáveis serão:

u 1 ' = W 1 W = - e - 15 x x e 10 x = - e - 5 x x

u 2 ' = W 2 W = e - 15 x x 2 e 10 x = e - 5 x x 2

Show! Agora só falta integramos isso aí para encontrarmos u 1   e   u 2 !

Passo 4

Integrando u 1 ' , teremos:

u 1 = ∫ - e - 5 x x d x = - ∫ x 0 x e - 5 t t d t ,   x 0 > 0

Agora integrando u 2 ' , teremos:

u 2 = ∫ - e - 5 x x d x = ∫ x 0 x e - 5 t t 2 d t ,   x 0 > 0

Logo, tiramos que nossa solução particular será:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

y p = - ∫ x 0 x e - 5 t t d t . e - 5 x + ∫ x 0 x e - 5 t t 2 d t . x e - 5 x

Sendo assim, concluímos que nossa solução geral é a seguinte:

y = y c + y p

y = c 1 e - 5 x + c 2 x e - 5 x - ∫ x 0 x e - 5 t t d t . e - 5 x + ∫ x 0 x e - 5 t t 2 d t . x e - 5 x

E é isso, gente!

Resposta

y = c 1 e - 5 x + c 2 x e - 5 x - ∫ x 0 x e - 5 t t d t . e - 5 x + ∫ x 0 x e - 5 t t 2 d t . x e - 5 x

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Nos problemas 25-28, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros, sujeita à condição inicial y 0 = 1 ,y ' 0 = 0 .27. y ' ' + 2 y ' - 8 y = 2 e - 2 x - e - x
Sabendo que y 1 = x - 1 2 e y 2 = x - 1 2 s e nx formam um conjunto fundamental de soluções para x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - 1 4 y = 0 em 0 ,∞ , encontre a solução geral para: x 2 y ' ' + x y ' + x 2 -
Use o método delineado no Problema 33 para encontrar uma solução particular para: y ' ' + y = 2 x - e 3 x + c o t gx
32. Sabendo que y 1 = cos ⁡ ln ⁡ x e y 2 = s e n ln ⁡ x são soluções linearmente independentes para x 2 y ' ' + x y ' + y = 0 em 0 ,∞ :a) Encontre uma solução particular para: x 2 y ' ' + x y ' + y =
33. a) Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para: y ' ' + 2 y ' + y = 4 x 2 - 3 b) Use o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução part