Enunciado

33. a) Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para:

y ' ' + 2 y ' + y = 4 x 2 - 3

b) Use o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular para:

y ' ' + 2 y ' + y = e - x x

c) Use o princípio de superposição (Teorema 4.9) para encontrar uma solução particular para:

y ' ' + 2 y ' + y = 4 x 2 - e - x x

Passo 1

a) Para encontrarmos y c vamos fazer: y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 , ok? Logo:

m 2 + 2 m + 1 = 0

E então encontramos que:

m 1 = m 2 = - 1

Como as raízes são reais e idênticas, então teremos a seguinte solução complementar:

y c = c 1 e - x + c 2 x e - x

Da nossa equação tiramos que:

g x = 4 x 2 - 3

Uma boa suposição para a solução particular seria:

y p = A x 2 + B x + C

E então devemos determinar coeficientes específicos A , B e C para que y p seja uma solução particular da nossa equação. Derivando, teremos:

y p ' = 2 A x + B

y p ' ' = 2 A

Top!

Passo 2

Agora que derivamos nossa solução complementar, substituindo na nossa equação diferencial, teremos:

y ' ' + 2 y ' + y = 4 x 2 - 3

2 A + 24 A x + 2 B + A x 2 + B x + C = 4 x 2 - 3

Como temos uma identidade tiramos o seguinte:

A = 4 B = - 16   C = 21

Então nossa solução particular será:

y p = 4 x 2 - 16 x + 21

Passo 3

b) Do passo 1 tiramos que:

y c = c 1 e - x + c 2 x e - x

Logo:

y 1 = e - x

y 2 = x e - x

Além disso:

y ' ' + 2 y ' + y = e - x x

f x = e - x x

Então agora precisamos resolver os determinantes! Se liga:

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = e - x x e - x - e - x e - x - x e - x = e - 2 x

W 1 = 0 y 2 f x y 2 ' = 0 x e - x e - x x e - x - x e - x = - e - 2 x

W 2 = y 1 0 y 1 ' f x = e - x 0 - e - x e - x x = e - 2 x x

Agora que determinamos os determinantes, temos que os parâmetros variáveis serão:

u 1 ' = W 1 W = - 1

u 2 ' = W 2 W = 1 x

Show! Agora só falta integramos isso aí para encontrarmos u 1   e   u 2 !

Passo 4

Integrando u 1 ' , teremos:

u 1 = - ∫ d x = x

Agora integrando u 2 ' , teremos:

u 2 = ∫ 1 x d x = ln ⁡ x

Logo, tiramos que nossa solução particular será:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

y p = x . e - x + ln ⁡ x . x e - x

Ou melhor:

y p = x e - x ln ⁡ x

Passo 5

c) Utilizando o princípio de Superposição, teremos:

y p 1 + y p 2 = y p

Ou seja, só precisamos somar as duas soluções particulares que encontramos em a) e em b), saca só:

y p = 4 x 2 - 16 x + 21 + x e - x ln ⁡ x

E está aí nossa resposta, pessoal! 😉

Resposta

a) y p = 4 x 2 - 16 x + 21

b) y p = x e - x ln ⁡ x

c) y p = 4 x 2 - 16 x + 21 + x e - x ln ⁡ x

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