Enunciado

Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

10. y ' ' + 2 y ' + 2 y = 5 e 6 x

Passo 1

Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar y c fazendo as substituições y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = 5 e 6 x

m 2 + 2 m + 2 = 0

Aplicando Bháskara:

m = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

m = - 2 ± 4 - 4 . 1.2 2 . 1 = - 2 ± - 4 2

Então encontramos que:

m 1 = a + b i = - 1 + i

m 2 = a - b i = - 1 - i

Como as raízes são complexas teremos a seguinte solução complementar:

y c = e a x . c 1 cos ⁡ b x + c 2 s e n   b x

y c = e - x c 1 cos ⁡ x + c 2 s e n   x

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de g x o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

g x = 5 e 6 x

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule g x . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato e a x , o seguinte operador anula nossa função:

D - a n

No qual n é o expoente de x e D é o operador definido como D y = d y d x . No nosso caso temos a = 6 e n = 1 , logo o operador será:

D - 6

Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = 5 e 6 x

D 2 y + 2 D y + 2 y = 5 e 6 x

D - 6 D 2 + 2 D + 2 y = 5 D - 6 e 6 x

D - 6 D 2 + 2 D + 2 y = 0

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo D 2 = m 2   e   D = m , teremos:

m - 6 m 2 + 2 m + 2 = 0

Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:

m 1 = 6

m 2 = a + b i = - 1 + i

m 3 = a - b i = - 1 - i

Dessa forma, uma solução geral para nosso problema é o seguinte:

y = c 1 e 6 x + e - x c 2 cos ⁡ x + c 3 s e n   x

Observe que o termo e - x c 2 cos ⁡ x + c 3 s e n   x é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

y p = A e 6 x

Aqui vale ressaltar que A = c 1 , beleza? Top! E então devemos encontrar y p ' e y p ' ' para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!

Passo 4

Derivando nossa solução particular:

y p ' = 6 A e 6 x

y p ' ' = 36 A e 6 x

Substituindo na nossa equação original, teremos:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = 5 e 6 x

36 A e 6 x + 12 A e 6 x + 2 A e 6 x = 5 e 6 x

50 A e 6 x = 5 e 6 x

Como temos uma identidade isso nos dá que:

50 A = 5

A = 1 10

Portanto temos que nossa solução geral final será:

y = 1 10 e 6 x + e - x c 2 cos ⁡ x + c 3 s e n   x

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y = 1 10 e 6 x + e - x c 2 cos ⁡ x + c 3 s e n   x

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