Enunciado

Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

18. y ' ' + 2 y ' + y = x 2 e - x

Passo 1

Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar y c fazendo as substituições y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' + 2 y ' + y = x 2 e - x

m 2 + 2 m + 1 = 0

Aplicando Bháskara:

m = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

m = - 2 ± 4 - 4 . 1.1 2 . 1 = - 2 ± 0 2

Então encontramos que:

m 1 = m 2 = - 1

Como as raízes são reais e idênticas teremos a seguinte solução complementar:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 x e m 2 x

y c = c 1 e - x + c 2 x e - x

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de g x o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

g x = x 2 e - x

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule g x . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato x n - 1 e a x , o seguinte operador anula nossa função:

D - a n

No qual n é o expoente de x acrescido de uma unidade e D é o operador definido como D y = d y d x . No nosso caso temos a = - 1 e n = 3 , logo nosso operador será:

D + 1 3

Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' + 2 y ' + y = x 2 e - x

D 2 y + 2 D y + y = x 2 e - x

D 2 + 2 D + 1 y = x 2 e - x

D + 1 3 D 2 + 2 D + 1 y = 0

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo D 2 = m 2   e   D = m , teremos:

m + 1 3 m 2 + 2 m + 1 = 0

Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:

m 1 = m 2 = m 3 = m 4 = m 5 = - 1

Dessa forma, uma solução geral para nosso problema é o seguinte:

y = c 1 e - x + c 2 x e - x + c 3 x 4 e - x + c 4 x 3 e - x + c 5 x 2 e - x

Observe que o termo c 1 e - x + c 2 x e - x é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

y p = c 3 x 4 e - x + c 4 x 3 e - x + c 5 x 2 e - x

Aqui vale ressaltar que A = c 3 ,   B = c 4   e   C = c 5 , beleza? Top! E então devemos encontrar y p ' e y p ' ' para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!

Passo 4

Derivando nossa solução particular:

y p ' = c 3 4 x 3 e - x - x 4 e - x + c 4 3 x 2 e - x - x 3 e - x + c 5 2 x e - x - e x 2 e - x

y p ' ' = c 3 x 4 e - x - 8 x 3 e - x + 12 x 2 e - x + c 4 x 3 e - x - 6 x 2 e - x + 6 x e - x + c 5 x 2 e - x - 4 x e - x + 2 e - x

Substituindo na nossa equação original, teremos:

y ' ' + 2 y ' + y = x 2 e - x

c 3 x 4 e - x - 8 x 3 e - x + 12 x 2 e - x + c 4 x 3 e - x - 6 x 2 e - x + 6 x e - x

+ c 5 x 2 e - x - 4 x e - x + 2 e - x

+ 2 c 3 4 x 3 e - x - x 4 e - x + c 4 3 x 2 e - x - x 3 e - x + c 5 2 x e - x - e x 2 e - x + c 3 x 4 e - x

+ c 4 x 3 e - x + c 5 x 2 e - x = x 2 e - x

Como temos uma identidade isso nos dá que:

A = 1 12 B = 0 C = 0

(OBS: Aqui é interessante utilizarmos uma calculadora que resolve o sistema formado a partir da identidade, uma vez que resolver analiticamente, isto é, na mão, daria um trabalho absurdo.) Portanto temos que nossa solução geral final será:

y = c 1 e - x + c 2 x e - x + 1 12 x 4 e - x

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y = c 1 e - x + c 2 x e - x + 1 12 x 4 e - x

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