Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1 - Capítulo 4.6 - Ex. 22

Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

22. y ' ' + y = 4 . cos ⁡ x - s e n   x

Passo 1

Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar y c fazendo as substituições y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' + y = 4 . cos ⁡ x - s e n   x

m 2 + 1 = 0

Então encontramos que:

m 1 = a + b i = 0 + i

m 2 = a - b i = 0 - i

Como as raízes são complexas teremos a seguinte solução complementar:

y c = e a x . c 1 cos ⁡ b x + c 2 s e n   b x

y c = c 1 cos ⁡ x + c 2 s e n   x

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de g x o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

g x = 4 . cos ⁡ x - s e n   x

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule g x . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato cos ⁡ β x - s e n   β x , o seguinte operador anula nossa função:

D 2 + β 2 n

No qual n é o expoente de x e D é o operador definido como D y = d y d x . No nosso caso temos temos β = 1 e n = 1 , logo o operador será:

D 2 + 1

Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' + y = 4 . cos ⁡ x - s e n   x

D 2 y + y = 4 . cos ⁡ x - s e n   x

D 2 + 1 y = 4 . cos ⁡ x - s e n   x

D 2 + 1 D 2 + 1 y = 0

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo D 2 = m 2   e   D = m , teremos:

m 2 + 1 2 = 0

Sendo assim, as raízes serão:

m 1 = m 2 = a + b i = 0 + i

m 3 = m 4 = a - b i = 0 - i

Dessa forma, uma solução geral para nosso problema é o seguinte:

y = c 1 cos ⁡ x + c 2 s e n   x + c 3 x . cos ⁡ x + c 4 x . s e n   x

Observe que o termo c 1 cos ⁡ x + c 2 s e n   x é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

y p = A x . cos ⁡ x + B x . s e n   x

Aqui vale ressaltar que A = c 3 e B = c 4 , beleza? Top! E então devemos encontrar y p ' e y p ' ' para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!

Passo 4

Derivando nossa solução particular:

y p ' = A 1 . cos ⁡ x - x . s e n   x + B 1 . s e n   x + x . cos ⁡ x

y p ' ' = - A . s e n   x - A 1 . s e n   x + x . cos ⁡ x + B . cos ⁡ x + B 1 . cos ⁡ x - x . s e n   x

Substituindo na nossa equação original, teremos:

y ' ' + y = 4 . cos ⁡ x - s e n   x

- A . s e n   x - A 1 . s e n   x + x . cos ⁡ x + B . cos ⁡ x + B 1 . cos ⁡ x - x . s e n   x + A x . cos ⁡ x

+ B x . s e n   x = 4 . cos ⁡ x - s e n   x

Como temos uma identidade isso nos dá que:

A = 1 2 B = - 2

(OBS: Aqui é interessante utilizarmos uma calculadora que resolve o sistema formado a partir da identidade, uma vez que resolver analiticamente, isto é, na mão, daria um trabalho absurdo.) Portanto temos que nossa solução geral final será:

y = c 1 cos ⁡ x + c 2 s e n   x + 1 2 x . cos ⁡ x - 2 x . s e n   x

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y = c 1 cos ⁡ x + c 2 s e n   x + 1 2 x . cos ⁡ x - 2 x . s e n   x

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