Enunciado

Nos problemas 23-34, mostre que as raízes indiciais diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno da singularidade regular x 0 = 0 . Encontre a solução geral em ( 0 ,   ∞ ) .

x . x - 1 y ' ' + 3 y ' - 2 y = 0

Passo 1

E aí meu colega, bora lá?

Vamos utilizar y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r na nossa equação diferencial:

x . x - 1 y ' ' + 3 y ' - 2 y = 4 r - r ² c 0 x r - 1 + ∑ k = 2 ∞ k + r - 1 k + r - 12 c k - 1 - k + r k + r - 1 c k + 3 k + r c k - 2 c k - 1 x k + r - 1 = 0

Igualando os termos dos dois lados, temos

r . ( 4 - r ) = 0

- k + r k + r - 4 c k + k + r - 1 k + r - 2 - 2 c k - 1 = 0

Assim, as nossas raízes indiciais são r = 0 e r = 4

Passo 2

Temos as raízes indiciais r = 0 e r = 4

E aí temos

- k - 4 c k + k - 3 c k - 1 = 0 ,   k = 1,2 , 3 …

E então:

3 c 1 - 2 c 0 = 0

2 c 2 - c 1 = 0

c 3 = 0

c 4   a r b i t r á r i o

De tal forma que

c k = k - 3 . c k - 1 k - 4 ,   k = 5,6 , 7 …

Então, fazendo c 0 ≠ 0 e c 4 = 0 , temos

c 1 = 2 3 c 0

c 2 = 1 3 c 0

c 3 = c 4 = c 5 = … = 0

E fazendo c 0 = 0 e c 4 ≠ 0 , temos

c 1 = c 2 = c 3 = 0

c 5 = 2 c 4

c 6 = 3 c 4

c 7 = 4 c 4

Então, nossa solução geral é

y = C 1 . 1 + 2 3 x + 1 3 x 2 + C 2 ∑ n = 1 ∞ n x n + 3

Resposta

y = C 1 . 1 + 2 3 x + 1 3 x 2 + C 2 ∑ n = 1 ∞ n x n + 3

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