Enunciado

Nos problemas 31-34, use o método de redução de ordem para encontrar uma solução para a equação não-homogênea dada. A função indicada y 1 ( x ) é uma solução para a equação homogênea associada. Determine uma segunda solução para a equação homogênea e uma solução particular da equação não homogênea.

y ' ' - 3 y ' + 2 y = 5 e 3 x ;       y 1 = e x

Passo 1

E aí, tudo bem? Vamos matar esse probleminha?

Ó se liga, nesse caso queremos encontrar a segunda solução da equação y ' ' - 3 y ' + 2 y = 5 e 3 x , sendo que a primeira solução é y 1 = e x

Nesse caso, a gente vai usar a fórmula 4 do seu livro, que fala que:

Dada a equação y ' ' + P x y ' + Q x y = 0 e uma primeira solução y 1 ( x ) , uma segunda solução vai ser dada por

y 2 x = y 1 x ∫ e - ∫ P x d x y 1 2 x   d x     ( I )

Então vamos lá??

Passo 2

Só pra relembrar, temos a equação

y ' ' - 3 y ' + 2 y = 5 e 3 x

E a primeira solução é y 1 = e x

Primeiramente, vamos comparar a nossa equação com esse modelo:

y ' ' + P x y ' + Q x y = 0     ( I I I )

Comparando a nossa equação ( I I I ) com a ( I I ) , a gente tem

P x = - 3

Então agora é só jogar lá na fórmula ( I ) do passo 1??

Isso mesmooo, vamos lá!

Passo 3

Vimos que a segunda solução é dada por

y 2 x = y 1 x ∫ e - ∫ P x d x y 1 2 x   d x

y 2 x = e x ∫ e - ∫ - 3 d x e 2 x   d x

y 2 x = e x ∫ e 3 x e 2 x   d x

Por propriedade de potência:

y 2 x = e x ∫ e x   d x

Então, uma segunda solução é

y 2 x = e x . e x = e 2 x

Passo 4

Para encontrar uma solução particular, vamos no famoso chutômetro com y p = A . e 3 x

Dessa forma:

y ' = 3 A . e 3 x

y ' ' = 9 A . e 3 x

E aí substituindo na equação diferencial, temos:

9 A . e 3 x - 3 . 3 A . e 3 x + 2 . A . e 3 x = 5 e 3 x

2 . A . e 3 x = 5 e 3 x

Então 2 A = 5 → A = 5 2

Então uma solução particular é y p = 5 2 e 3 x

E fechamosss

Resposta

y 2 x = e 2 x

y p = 5 2 e 3 x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. 9 y ' ' - 12 y ' + 4 y = 0 ;y 1 =
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. y ' ' - 25 y = 0 ;y 1 = e 5 x
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. 1 + x y ' ' + x y ' - y = 0 ;y 1 =
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. 1 - x 2 y ' ' - 2 x y ' = 0 ;y 1 =
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. 1 - 2 x - x 2 y ' ' + 2 1 + x y '