Enunciado

Nos problemas 31-34, use o método de redução de ordem para encontrar uma solução para a equação não-homogênea dada. A função indicada y 1 ( x ) é uma solução para a equação homogênea associada. Determine uma segunda solução para a equação homogênea e uma solução particular da equação não homogênea.

y ' ' - 4 y ' + 3 y = x ;       y 1 = e x

Passo 1

E aí, tudo bem? Vamos matar esse probleminha?

Ó se liga, nesse caso queremos encontrar a segunda solução da equação y ' ' - 4 y ' + 3 y = x , sendo que a primeira solução é y 1 = e x

Nesse caso, a gente vai usar a fórmula 4 do seu livro, que fala que:

Dada a equação y ' ' + P x y ' + Q x y = 0 e uma primeira solução y 1 ( x ) , uma segunda solução vai ser dada por

y 2 x = y 1 x ∫ e - ∫ P x d x y 1 2 x   d x     ( I )

Então vamos lá??

Passo 2

Só pra relembrar, temos a equação

y ' ' - 4 y ' + 3 y = x

E a primeira solução é y 1 = e x

Primeiramente, vamos comparar a nossa equação com esse modelo:

y ' ' + P x y ' + Q x y = 0     ( I I I )

Comparando a nossa equação ( I I I ) com a ( I I ) , a gente tem

P x = - 4

Então agora é só jogar lá na fórmula ( I ) do passo 1??

Isso mesmooo, vamos lá!

Passo 3

Vimos que a segunda solução é dada por

y 2 x = y 1 x ∫ e - ∫ P x d x y 1 2 x   d x

y 2 x = e x ∫ e - ∫ - 4 d x e 2 x   d x

y 2 x = e x ∫ e 4 x e 2 x   d x

Por propriedade de potência:

y 2 x = e x ∫ e 2 x   d x

Então, uma segunda solução é

y 2 x = e x 2 . e 2 x = e 3 x 2

Passo 4

Para encontrar uma solução particular, vamos no famoso chutômetro com y p = a x + b

Dessa forma:

y ' = a

y ' ' = 0

E aí substituindo na equação diferencial, temos:

0 - 4 a + 3 ( a x + b ) = x

3 a x + 3 b - 4 a = x

Então 3 a = 1 → a = 1 3

E 3 b - 4 a = 0 → 3 b - 4 3 = 0 → b = 4 9

Então uma solução particular é y p = x 3 + 4 9

E fechamosss

Resposta

y 2 x = e 3 x 2

y p = x 3 + 4 9

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Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. 4 x 2 y ' ' + y = 0 ;y 1 = x 1 2 l
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. x 2 y ' ' - x y ' + y = 0 ;y 1 = x
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. x 2 y ' ' - 3 x y ' + 5 y = 0 ;y 1
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. x 2 y ' ' - 5x y ' + 9 y = 0 ;y 1
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. x 2 y ' ' - x y ' + 2 y = 0 ;y 1 =