Enunciado

8. Um projétil é atirado verticalmente no ar com uma velocidade inicial de v 0 . m s . Supondo que a resistência do ar é proporcional ao quadrado da velocidade instantânea, o movimento é descrito pelo par de equações diferenciais:

m . d v d t = - m g - k v 2 ,     k > 0

Eixo dos y positivo para cima, origem no solo de forma que v = v 0 em y = 0 e:

m . d v d t = m g - k v 2 ,     k > 0

Eixo dos y positivo para baixo, origem na altura máxima de forma que v = 0 em y = h . A primeira e segunda equações descrevem o movimento do projétil subindo e descendo, respectivamente.

a) Determine a velocidade limite ou terminal do projétil em queda. Compare essa velocidade terminal com a obtida no problema 27 nos exercícios 3.2.

b) Prove que a velocidade de impacto v i do projétil é menor que a velocidade inicial v 0 . Pode também ser mostrado que o tempo t 1 necessário para atingir sua altura máxima h é menor que o tempo t 2 que ele leva para cair dessa altura. Veja a figura 3.25.

Passo 1

a) Então galera, as equações que nos foram dadas são:

m . d v d t = - m g - k v 2 ,     k > 0

E:

m . d v d t = m g - k v 2 ,     k > 0

Então o que temos que fazer é resolver essas equações! Antes de qualquer coisa vamos fazer uma substituição, ok? A substituição será:

d v d t = v . d v d y

Então nossas equações serão:

m . v . d v d y = - m g - k v 2

E:

m . v . d v d y = m g - k v 2

Show!

Passo 2

Resolvendo a primeira equação, teremos:

m . v . d v d y = - m g - k v 2

v . d v d y + m g = - k v 2

d v d y + m g . 1 v = - k v

Isso nos dá como resultado:

v 2 = m g + k v 0 2 k e - 2 k y m - m g k

Já aplicando as condições iniciais, claro! Fazendo v = 0 , teremos que a altura máxima ocorrerá em:

h = m 2 k ln ⁡ m g + k v 0 2 m g

Passo 3

Resolvendo a segunda equação, teremos:

m . v . d v d y = m g - k v 2

v . d v d y - m g = - k v 2

d v d y - m g . 1 v = - k v

Isso nos dá como resultado:

v 2 = m g k 1 - e - 2 k y m

Já aplicando as condições iniciais, claro!

Aplicando t → ∞ para calcularmos a velocidade terminal, teremos:

v = m g k

Passo 4

b) Fazendo y = h teremos que a velocidade de impacto será:

v i = v 0 1 + k m g v 0 2

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

a) v = m g k

b) v i = v 0 1 + k m g v 0 2

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