Enunciado

Nos problemas 37-52, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.

d 4 y d x 4 = 0 ,       y 0 = 2 ,       y ' 0 = 3 ,   y ' ' 0 = 4 ,   y ' ' ' 0 = 5

Passo 1

E aíí, vamos pra mais um probleminha?

Vimos nessa seção do seu livro que para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem, vamos usar a equação auxiliar:

a . m n + b . m n - 1 + … = 0

1) Se tivermos raízes reais e distintas a solução geral da EDO é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x + … + c n . e m n x

2) Se tivermos raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos raízes complexas conjugadas, a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x + …

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

E aí depois disso vamos aplicar as condições iniciais que ele deu, pra aí descobrirmos os valores das constantes

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever d 4 y d x 4 = 0

y ' ' ' ' = 0

Assim:

m 4 = 0

Resolvendo a equação, encontramos 4 raízes iguais valendo m = 0

Então, a nossa solução geral fica assim:

y = c 1 . e 0 x + c 2 . x . e 0 x + c 3 . x 2 . e 0 x + c 4 . x ³ . e 0 x

y = c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + c 4 x ³

Agora temos que aplicar as condições iniciais, beleza?

Passo 3

Fazendo y 0 = 2 :

y 0 = 2 = c 1 + c 2 . 0 + c 3 . 0 + c 4 . 0

c 1 = 2

Fazendo y ' 0 = 3 :

y ' 0 = 3 = c 2 + 2 c 3 . 0 + 3 c 4 0 ²

c 2 = 3

E agora y ' ' 0 = 4 :

y ' ' 0 = 4 = 2 c 3 + 6 c 4 . 0

2 c 3 = 4

c 3 = 2

E por fim, y ' ' ' 0 = 5 :

y ' ' ' 0 = 5 = 6 c 4

c 4 = 5 6

Então:

y = 2 + 3 x + 2 x 2 + 5 6 x ³

Resposta

y = 2 + 3 x + 2 x 2 + 5 6 x ³

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