Enunciado

Prove cada uma das propriedades, a seguir, da álgebra de matrizes:

(a) A + B = B + A

(b) A + B + C = A + B + C

(c) α A + B = α A + α B

(d) α + β A = α A + β A

(e) A B C = A B C

(f) A B + C = A B + A C

Passo 1

Imagine três matrizes A = a 11 a 12 a 21 a 22 , B = b 11 b 12 b 21 b 22 e C = c 11 c 12 c 21 c 22

Vamos usá-las para demonstrar todos os itens propostos. Tudo bem?

A soma de duas matrizes é dada por:

A + B = a 11 a 12 a 21 a 22 + b 11 b 12 b 21 b 22 = a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 21 + b 21 a 22 + b 22

Ou seja, a soma de matrizes gera uma nova matriz com o mesmo tamanho das matrizes que a geraram e cada termo é a soma dos termos equivalentes nas matrizes originárias.

Assim, se fizermos agora a soma B + A :

B + A = b 11 b 12 b 21 b 22 + a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 21 + b 21 a 22 + b 22

E chegamos ao mesmo resultado da soma A + B . Legal!!! Já demonstramos o item (a). Vamos agora ao item (b), que pede A + B + C = A + B + C . Vamos começar com a soma B + C :

B + C = b 11 b 12 b 21 b 22 + c 11 c 12 c 21 c 22 = b 11 + c 11 b 12 + c 12 b 21 + c 21 b 22 + c 22

Somando a matriz A :

A + B + C = a 11 a 12 a 21 a 22 + b 11 + c 11 b 12 + c 12 b 21 + c 21 b 22 + c 22 =

A + B + C = a 11 + b 11 + c 11 a 12 + b 12 + c 12 a 21 + b 21 + c 21 a 22 + b 22 + c 22

Vamos tratar agora da soma A + B + C . Como já calculamos A + B precisamos agora somar a matriz C :

A + B + C = a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 21 + b 21 a 22 + b 22 + c 11 c 12 c 21 c 22 =

A + B + C = a 11 + b 11 + c 11 a 12 + b 12 + c 12 a 21 + b 21 + c 21 a 22 + b 22 + c 22

Que é igual ao resultado de A + B + C .

Passo 2

Vamos agora relembrar a multiplicação de uma matriz por um número:

α A = α a 11 a 12 a 21 a 22 = α a 11 α a 12 α a 21 α a 22

Que é equivalente a multiplicar todos os coeficientes da matriz pelo número. O item (c) nos pede para demonstrar ) α A + B = α A + α B . Começando pelo termo do lado esquerdo da equação, já calculamos A + B , então:

α A + B = α a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 21 + b 21 a 22 + b 22 =

α ( a 11 + b 11 ) α ( a 12 + b 12 ) α ( a 21 + b 21 ) α ( a 22 + b 22 )

Se fizermos agora a multiplicação de cada matriz e depois somar:

α A = α a 11 a 12 a 21 a 22 = α a 11 α a 12 α a 21 α a 22

α B = α b 11 b 12 b 21 b 22 = α b 11 α b 12 α b 21 α b 22

Então:

α A + α B = α a 11 α a 12 α a 21 α a 22 + α b 11 α b 12 α b 21 α b 22 =

α a 11 + α b 11 α a 12 + α b 12 α a 21 + α b 21 α a 22 + α b 22 =

α ( a 11 + b 11 ) α ( a 12 + b 12 ) α ( a 21 + b 21 ) α ( a 22 + b 22 ) = α A + B

Agora iremos ao item (d). Ele nos pede para demonstrar que α + β A = α A + β A . Já temos α A , então precisamos agora calcular β A :

β A = β a 11 a 12 a 21 a 22 = β a 11 β a 12 β a 21 β a 22

Somando α A + β A :

α A + β A = α a 11 α a 12 α a 21 α a 22 + β a 11 β a 12 β a 21 β a 22 =

( α + β ) a 11 ( α + β ) a 12 ( α + β ) a 21 ( α + β ) a 22 =

α + β a 11 a 12 a 21 a 22 = α + β A

Passo 3

Nosso último passo será demonstrar as propriedades da multiplicação de matrizes. A primeira coisa que precisamos saber é que a ordem dos fatores é importante, ou seja, A B ≠ B A . Além disso, para realizar esta operação é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda. Esta operação é descrita por:

A B = a 11 a 12 a 21 a 22 b 11 b 12 b 21 b 22 =

a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22 = D

Ou você pode pensar que o termo d i j da matriz D é:

d i j = ∑ k = 1 n a i k x b k j

Sabendo disso, iremos ao item (e), que pede para mostrar que A B C = A B C . Vamos lá?

Começando pela multiplicação B C :

B C = b 11 b 12 b 21 b 22 x c 11 c 12 c 21 c 22 =

b 11 c 11 + b 12 c 21 b 11 c 12 + b 12 c 22 b 21 c 11 + b 22 c 21 b 21 c 12 + b 22 c 22

Multiplicando por A :

A B C = a 11 a 12 a 21 a 22 b 11 c 11 + b 12 c 21 b 11 c 12 + b 12 c 22 b 21 c 11 + b 22 c 21 b 21 c 12 + b 22 c 22 =

a 11 b 11 c 11 + b 12 c 21 + a 12 ( b 21 c 11 + b 22 c 21 ) a 11 b 11 c 12 + b 12 c 22 + a 12 ( b 21 c 12 + b 22 c 22 ) a 21 b 11 c 11 + b 12 c 21 + a 22 ( b 21 c 11 + b 22 c 21 ) a 21 b 11 c 12 + b 12 c 22 + a 22 ( b 21 c 12 + b 22 c 22 )

Vamos agora calcular:

A B C = a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22 x c 11 c 12 c 21 c 22 =

a 11 b 11 + a 12 b 21 c 11 + a 11 b 12 + a 12 b 22 c 21 a 11 b 11 + a 12 b 21 c 1 2 + a 11 b 12 + a 12 b 22 c 2 2 a 21 b 11 + a 22 b 21 c 11 + a 21 b 12 + a 22 b 22 c 21 a 21 b 11 + a 22 b 21 c 12 + a 21 b 12 + a 22 b 22 c 22

Que podemos reescrever como:

A B C =

a 11 b 11 c 11 + b 12 c 21 + a 12 ( b 21 c 11 + b 22 c 21 ) a 11 b 11 c 12 + b 12 c 22 + a 12 ( b 21 c 12 + b 22 c 22 ) a 21 b 11 c 11 + b 12 c 21 + a 22 ( b 21 c 11 + b 22 c 21 ) a 21 b 11 c 12 + b 12 c 22 + a 22 ( b 21 c 12 + b 22 c 22 )

Que é o mesmo resultado encontrado para A B C .

Nosso último passo será demonstrar que A B + C = A B + A C . A multiplicação A B + C é dada por:

A B + C = a 11 a 12 a 21 a 22 b 11 + c 11 b 12 + c 12 b 21 + c 21 b 22 + c 22 =

a 11 b 11 + c 11 + a 12 ( b 21 + c 21 ) a 11 b 12 + c 12 + a 12 ( b 22 + c 22 ) a 21 b 11 + c 11 + a 22 ( b 21 + c 21 ) a 21 b 12 + c 12 + a 22 ( b 22 + c 22 )

Vamos agora calcular as multiplicações A B e A C :

A B = a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22

A C = a 11 a 12 a 21 a 22 x c 11 c 12 c 21 c 22 =

a 11 c 11 + a 12 c 21 a 11 c 12 + a 12 c 22 a 21 c 11 + a 22 c 21 a 21 c 12 + a 22 c 22

Somando A B + A C :

A B + A C =

a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 11 c 11 + a 12 c 21 a 11 c 12 + a 12 c 22 a 21 c 11 + a 22 c 21 a 21 c 12 + a 22 c 22 =

a 11 b 11 + c 11 + a 12 ( b 21 + c 21 ) a 11 b 12 + c 12 + a 12 ( b 22 + c 22 ) a 21 b 11 + c 11 + a 22 ( b 21 + c 21 ) a 21 b 12 + c 12 + a 22 ( b 22 + c 22 ) = A B + C

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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