Enunciado

Calcule a inversa da matriz dada ou mostre que ela é singular:

3 - 1 6 2

Passo 1

Vamos primeiro recordar o que é a matriz inversa. Uma matriz B é chamada de inversa de A se:

A B = B A = I

Em que I é a matriz identidade. A condição básica para que exista a matriz inversa é que det ⁡ A ≠ 0 . Caso det ⁡ A = 0 , a matriz A é chamada de singular e é não-inversível. Tudo bem??

Então, vamos ao exercício.

Passo 2

Nosso primeiro passo será calcular o determinante da matriz dada:

det ⁡ 3 - 1 6 2 =

3 - 1 6 2 =

3 x 2 - 6 x ( - 1 ) = 12

Então, a matriz é inversível. Vamos agora determinar a matriz inversa.

Passo 3

O método mais comum é o seguinte:

3 - 1 6 2 1 0 0 1

Espelhar a matriz e a identidade. Em seguida vamos tentar transformar a matriz na matriz identidade:

3 - 1 6 2 1 0 0 1

Vamos começar dividindo a primeira linha por 3:

1 - 1 / 3 6 2 1 / 3 0 0 1

Agora iremos multiplicar a primeira linha por 6 e então, subtrair da segunda linha:

1 - 1 / 3 0 4 1 / 3 0 - 2 1

Vamos agora dividir a segunda linha por 4:

1 - 1 / 3 0 1 1 / 3 0 - 1 / 2 1 / 4

Iremos agora multiplicar a segunda linha por 1/3 e soma na primeira linha. Ficamos então com:

1 0 0 1 1 / 6 1 / 12 - 1 / 2 1 / 4

Então, a matriz inversa é:

1 / 6 1 / 12 - 1 / 2 1 / 4

Resposta

A matriz inversa é:

1 / 6 1 / 12 - 1 / 2 1 / 4

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Em cada um dos problemas de 22 a 24, verifique se o vetor dado satisfaz a equação diferencial dada.22. x ' = 3 - 2 2 - 2 x, x = 4 2 e 2 t