Enunciado

Prove que, se a 2 + b c ≠ 0 , então o gráfico de:

f x = a x + b c x - a

É simétrico em relação à reta y = x .

Passo 1

Falaaaa, tranquilin? Po gente, seguinte. Pra resolver essa questão, vamos lembrar que toda função inversa é uma imagem espelhada da sua função original em relação à reta y = x . Sendo assim, se uma função já tem essa simetria naturalmente, é porque ela é a sua própria inversa! Então pra provar isso, seja:

y = a x + b c x - a

Pra gente conseguir inverter, vamos precisar reescrever a função de forma a fazer x aparecer somente uma vez! Sendo assim, podemos por a em evidência em cima e c em evidência em baixo, transformando a função em:

y = a x + b a c x - a c

y = a c ∙ x + b a x - a c

Agora olha só, se eu somar e subtrair por k em cima, não mudo nada, né?

y = a c ∙ x + b a + k - k x - a c

Só que, se:

b a + k = - a c

Vamos ter que:

k = - a c - b a

E logo:

y = a c ∙ x + - a c - - a c - b a x - a c

y = a c ∙ x + - a c x - a c - - a c - b a x - a c

y = a c ∙ x - a c x - a c + a c + b a x - a c

y = a c ∙ 1 + a c + b a x - a c

Opa, então x tai uma vez só mesmo agora!

Passo 2

Agora vamos isolar x pra podermos inverter depois, ok? Multiplicando os dois lados por c , temos:

c y = a ∙ 1 + a c + b a x - a c

Dividindo os dois lados por a , temos:

c a ∙ y = 1 + a c + b a x - a c

Subtraindo 1 dos dois lados, temos:

c a ∙ y - 1 = 1 - 1 + a c + b a x - a c

c a ∙ y - 1 = a c + b a x - a c

Multiplicando os dois lados por x - a c , temos:

c a ∙ y - 1 x - a c = a c + b a x - a c x - a c

c a ∙ y - 1 x - a c = a c + b a

Dividindo os dois lados por c a ∙ y - 1 , temos:

c a ∙ y - 1 x - a c c a ∙ y - 1 = a c + b a c a ∙ y - 1

x - a c = a c + b a c a ∙ y - 1

Somando a c nos dois lados, temos:

x - a c + a c = a c + b a c a ∙ y - 1 + a c

x = a c + b a c a ∙ y - 1 + a c

Show, x isolado!

Passo 3

Agora vamos arrumar isso ai antes de trocar x , y de lugar. Primeiro, vamos colocar tudo no mesmo denominador:

x = a c + b a c a ∙ y - 1 + a ∙ y a - 1 c c ∙ y a - 1 c

x = a c + b a c a ∙ y - 1 + y - a c c a ∙ y - 1

Juntando as duas frações:

x = y - a c + a c + b a c a ∙ y - 1

x = y + b a c a ∙ y - 1

E por fim, podemos multiplicar em cima e em baixo por a :

x = a a ∙ y + b a c a ∙ y - 1

x = a ∙ y + b a a ∙ c a ∙ y - 1

x = a y + b c y - a

E bem, pra fecharmos mesmo, falta só trocar x , y de lugar:

y = a x + b c x - a

E tai galera, provado! Restauramos a função original, o que significa que ela é a sua própria inversa e logo, simétrica a y = x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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