Enunciado

Prove que um gráfico simétrico com respeito a duas retas perpendiculares quaisquer também seja simétrico com relação ao ponto de intersecção delas.

Passo 1

Sabemos que o gráfico é simétrico em relação a uma reta r e em relação a uma reta s perpendicular à reta r. Precisamos descobrir se ele é simétrico em relação à interseção das duas.

Passo 2

Para um gráfico ser simétrico em relação a uma reta r, é preciso que, para todo ponto A pertencente ao seu gráfico, exista um ponto B também pertencente ao gráfico tal que a reta r seja mediatriz do segmento A B - (ou seja, ela divide o segmento ao meio e é perpendicular a ele).

Passo 3

Agora repetimos o passo 2 para a reta s: para todo ponto A pertencente ao gráfico, temos um ponto C que também pertence ao gráfico e é tal que a reta s é mediatriz do segmento A C - .

Passo 4

Se o gráfico é simétrico em relação à reta r (verde), então há um ponto D do gráfico tal que a reta r seja mediatriz do segmento C D -

E se o gráfico é simétrico em relação à reta s (azul), então há um ponto E do gráfico tal que a reta s seja mediatriz do segmento B E - .

E podemos ver que E = D .

Passo 5

Sabemos que o ponto E pertence ao gráfico pelos passos anteriores. Agora basta sabermos se ele é o simétrico de A com relação ao ponto O:

Por construção, as retas são perpendiculares entre si e em relação aos segmentos, então o ângulo ∠ A B E é perpendicular também. E como o ângulo ∠ O A P 1 = ∠ E A B e o ângulo ∠ O E P 2 = ∠ A E B , temos que os triângulos △ A P 1 O ∼   △ A B E ∼   △ O P 2 E são semelhantes.

Como a reta r é mediatriz do segmento A B - , o ponto P 1 divide o segmento em duas partes iguais, então a razão de semelhança entre △ A P 1 O e △ A B E é 2 .

Sabemos também que a reta s é mediatriz do segmento B E - , então o ponto P 2 divide o segmento em duas partes iguais e assim a razão de semelhança entre △ A B E e △ O P 2 E é 2 também.

Assim, os triângulos △ A P 1 O =   △ O P 2 E são iguais. Logo os segmentos A O - e O E - são iguais e, dessa forma, o ponto O divide o segmento A E - em duas partes iguais.

Portanto o ponto E é o simétrico de A em relação ao ponto O de interseção das retas.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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