Enunciado

Prove que lim x → - ∞ ⁡ 8 x + 3 2 x - 1 = 4 , mostrando que para todo ε > 0 existe um número N < 0 , tal que se x < N então 8 x + 3 2 x - 1 - 4 < ε .

Passo 1

Partiu então. Primeira coisa que podemos fazer é mexer no interior daquele módulo. Bora lá:

8 x + 3 2 x - 1 - 4 < ε

8 x + 3 2 x - 1 - 4 2 x - 1 2 x - 1 < ε

8 x + 3 2 x - 1 - 8 x - 4 2 x - 1 < ε

8 x + 3 - 8 x + 4 2 x - 1 < ε

7 2 x - 1 < ε

Manipulando mais um pouquinho:

7 2 x - 1 < ε

2 x - 1 7 > 1 ε

2 x - 1 > 7 ε

Passo 2

Da definição de módulo:

2 x - 1 = 2 x - 1 ,     s e   2 x - 1 ≥ 0 - 2 x + 1 ,     s e   2 x - 1 < 0

O que é a mesma coisa que:

2 x - 1 = 2 x - 1 ,     s e   x ≥ 1 2 - 2 x + 1 ,     s e   x < 1 2

Como queremos N < 0 tal que x < N , a definição de módulo que usaremos é a negativa, fazendo com que fiquemos com:

- 2 x + 1 > 7 ε

- 2 x > 7 ε - 1

2 x < 1 - 7 ε

2 x < ε ε - 7 ε

x < ε - 7 2 ε

Conclusão que chegamos é que se para todo ε > 0 , não importa o quão pequeno, existir um número N = ε - 7 2 ε tal que x < N , então será verdade 8 x + 3 2 x - 1 - 4 < ε .

Faça um teste! Para ε = 1 por exemplo, N = - 3 . Escolhendo, por exemplo, x = - 10 < N , temos:

8 - 10 + 3 2 - 10 - 1 - 4 < 1

0,333 < 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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