Enunciado

Prove que

lim x → 4 ⁡ - 2 x - 4 2 = - ∞

Usando a definição 2.4 . 2

Definição 2.4 . 2 :

Seja f uma função definida em todo número de um intervalo aberto I contendo a , exceto possivelmente no próprio a . Quando x tende a a , f x decresce indefinidamente e escrevemos

lim x → a ⁡ f x = - ∞

Se para qualquer número N < 0 , existir um δ > 0 tal que

Se 0 < x - a < δ então f x < N

Passo 1

Essas questões pela definição são bem chatinhas. Mas vou te mostrar como é a ideia geral.

Precisamos achar o valor de δ para um N qualquer onde 0 < x - a < δ

Na prática fazemos f x < N e tentamos achar x - a .

Nesse caso, onde a = 4 , temos que partir de

f x < N → - 2 x - 4 2 < N

E chegarmos em x - 4

Vamos com calma e conseguimos pegar o passo a passo

Passo 2

Temos

- 2 x - 4 2 < N

Vamos multiplicar essa desigualdade por x - 4 2 e dividir por N . Que assim já aparece o x - 4 menor que alguém. Temos que ficar atentos que como N é negativo, ao fazermos isso, estamos mudando também a desigualdade

- 2 N > x - 4 2

Escrevendo de forma mais próxima do que queremos

x - 2 2 < - 2 N

Para aparecer o módulo, vamos tirar a raiz de todo mundo

Isso porque raiz de um número ao quadrado é o módulo dele.

x - 4 < - 2 N

Módulo é sempre positivo, então temos

0 < x - 4 < - 2 N

Então se pegarmos

δ = - 2 N

Garantirmos que

f x < N

Esse δ existe, porque, apesar daquele dentro da raiz, o N é negativo, então aquele com o N fica positivo.

Porque é só fazer o caminho inverso que escrevemos aqui. Vou reescrever no próximo passo só para te mostrar

Passo 3

Peguemos N < 0 e sendo δ = - 2 N com

0 < x - 4 < - 2 N

Elevando os dois lados ao quadrado

x - 4 2 < - 2 N

Multiplicando por N , temos

N x - 4 2 > - 2

Lembrem de mudar o sentido da desigualde.

Dividindo por x - 4 2 temos

N > - 2 x - 4 2

Mas

f x = - 2 x - 4 2

Então teremos que, existe um δ , que é - 2 N

Onde

0 < x - 4 < δ = - 2 N ⇒ N > f x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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