Enunciado

Se f x = 3 x 2 + x | x | , prove que f ' ' ( 0 ) não existe, mas o gráfico de f é côncavo para cima em toda parte.

Passo 1

Para começar vamos determinar a concavidade do gráfico. Esta concavidade pode ser determinada pela derivada segunda da função nos valores de x.

Devemos lembrar que:

x = { x ,   s e   x ≥ 0 - x ,   s e   x < 0

Então:

f ( x ) = { 3 x 2 + x ² = 4 x ² ,   s e   x ≥ 0 3 x 2 + x . - x = 2 x ² ,   s e   x < 0

Derivando:

f ' ( x ) = { 8 x ,     s e   x > 0 4 x ,     s e   x < 0

f ' ' ( x ) = { 8 ,     s e   x > 0 4 ,     s e   x < 0

A derivada primeira da função indica a inclinação da reta tangente àquele ponto. Sabendo que:

f ' ( x ) = lim x → c ⁡ f x - f ( c ) x - c

Lembrando que, para o limite bilateral existir os limites laterais direito e esquerdo devem ser iguais.

f ' x = lim x → 0 + ⁡ f x - f c x - c = 0

f ' x = lim x → 0 - ⁡ f x - f c x - c = 0

Ou seja, há uma reta tangente vertical que passa sobre o ponto x = 0 .

Analogamente:

f ' ' 0   n ã o   e x i s t e

Passo 2

Analisando a direção da concavidade:

Como a f ' ' ( x ) é positiva para rodos os valores de x, o gráfico é côncavo para cima em todos od pontos.

Desenhando o gráfico da função para comprovarmos o que foi visto:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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