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Prove que, para todo x > 0 , a r c t g x + a r c t g (1)/(x) = (pi)/(2) .

Passo 1

Preparados para continuar?

Então siiimbora !!

Sabemos que:

a r c t g x = sum_(n = 0)^(oo) (- 1)^n (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)

Então:

(d)/(d x) [a r c t g x + a r c t g (1)/(x)] = (d)/(d x) [sum_(n = 0)^(oo) (- 1)^n (x^(2 n + 1))/(2 n + 1) + sum_(n = 0)^(oo) (- 1)^n (((1)/(x))^(2 n + 1))/(2 n + 1)]

Derivando:

(d)/(d x) [sum_(n = 0)^(oo) (- 1)^n (x^(2 n + 1))/(2 n + 1) + sum_(n = 0)^(oo) (- 1)^n (((1)/(x))^(2 n + 1))/(2 n + 1)] = sum_(n = 0)^(oo) (- 1)^n x^(2 n + 1) + sum_(n = 0)^(oo) (- 1)^n ((1)/(x))^(2 n)

Sabemos que essa série pode ser reescrita como:

sum_(n = 0)^(oo) (- 1)^n x^(2 n + 1) + sum_(n = 0)^(oo) (- 1)^n ((1)/(x))^(2 n) = (1)/(1 + x ²) + (1)/(1 + ((1)/(x)) ²)

= (1)/(1 + x ²) + (x ²)/(1 + x ²) = (1 + x ²)/(1 + x ²) = 1

Então:

(d)/(d x) [a r c t g x + a r c t g (1)/(x)] = 1

Isso nos diz que, existe uma constante tal que:

a r c t g x + a r c t g (1)/(x) = k

Usando x = 1 :

a r c t g 1 + a r c t g 1 = (pi)/(2)

Podem testar para qualquer outro valor de x, e vocês vão ver que legal!

Concluímos então que:

a r c t g x + a r c t g (1)/(x) = (pi)/(2)

Resposta

a r c t g x + a r c t g (1)/(x) = (pi)/(2)

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