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Seja p um natural qualquer e 0 < x <= 1 . Mostre que:

|a r c t g x - sum_(n = 0)^(p - 1) (- 1)^n (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)| <= (x^(2 p + 1))/(2 p + 1)

Passo 1

Boom turminha, vamos seguindo !!

Pelo exercício 5 nós comprovamos que, para |x| <= 1

a r c t g x = sum_(p = 0)^(+ oo) (- 1)^p (x^(2 p + 1))/(2 p + 1)

Então:

|a r c t g x - sum_(n = 0)^(p - 1) (- 1)^n (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)| = |sum_(p = 0)^(+ oo) (- 1)^p (x^(2 p + 1))/(2 p + 1) - sum_(n = 0)^(p - 1) (- 1)^n (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)|

Da letra (a) nós comprovamos que:

|sum_(n = p)^(+ oo) (- 1)^n (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)| <= (x^(2 p + 1))/(2 p + 1)

Muito bem!! Então este somatório é menor do que o termo (x^(2 p + 1))/(2 p + 1) , certo?

Se este somatório sozinho já é menor do que este termo, quando subtraímos dele um segundo somatório a afirmativa continua sendo verdadeira, concordam?

Então:

|sum_(p = 0)^(+ oo) (- 1)^p (x^(2 p + 1))/(2 p + 1) - sum_(n = 0)^(p - 1) (- 1)^n (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)| <= (x^(2 p + 1))/(2 p + 1)

Ou melhor:

|a r c t g x - sum_(n = 0)^(p - 1) (- 1)^n (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)| <= (x^(2 p + 1))/(2 p + 1)

Legal ou não ?! :P

Resposta

|a r c t g x - sum_(n = 0)^(p - 1) (- 1)^n (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)| <= (x^(2 p + 1))/(2 p + 1)

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