Resolva

dy/dx = -2y + cos(2x)

Passo 1

Meus queridos e minhas queridas:

Notem que não há como isolar as variáveis em ambos os lados da equação.

Para resolvermos, precisamos fazer uso do seguinte artifício:

As soluções da equação:

(d y)/(d x) = f (x) y + g ( x )

São dadas pela fórmula:

y = e^(int f (x) d x) * [k + int g (x) e^(- int f (x) d x) d x]

Portanto, mãos a massa!

Sendo a equação:

(d y)/(d x) = - 2 y + c o s ( 2 x )

Sabemos que:

{[[f (x) = - 2],[g (x) = cos (2 x)]])

Vamos lá!

y = e^(int - 2 d x) * [k + int cos ( 2 x ) e^(- int - 2 d x) d x]

y = e^(- 2 x) * [k + int cos ( 2 x ) e^(2 x) d x]

y = e^(- 2 x) * [k + (e^(2 x))/(4) (s e n (2 x) + cos (2 x))]

y = k e^(- 2 x) + (1)/(4) (s e n (2 x) + cos (2 x))

Resposta

y = k e^(- 2 x) + (1)/(4) (s e n (2 x) + cos (2 x))

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