Suponha E , R ,   e   L constantes não-nulas. Determine a solução i = i ( t ) do problema

L d i d t + R i = E i 0 = 0

Passo 1

Temos uma equação diferencial e queremos transformá-la na sua primitiva!

Meus pimpolhos, o que precisamos fazer? Sim, isso mesmo. Vamos isolar as variáveis.

L d i d t + R i = E

L d i d t = E - R i

d i E - R i = d t L

Agora, o próximo passo é integrar ambos os lados da equação.

∫ d i E - R i = ∫ d t L

- 1 R ln ⁡ ( E - R i ) = t L + k

ln ⁡ ( E - R i ) = - R L t - k R

Elevando ambos os lados da equação a e , que é a base do logaritmo:

E - R i = e - R L t - k R

R i = E - e - R L t - k R

i ( t ) = E - e - R L t - k R R

Passo 2

Por se tratar de um PVI (problema de valor inicial), conseguimos eliminar a constante k .

Temos:

i 0 = 0

Vamos lá:

i ( t ) = E - e - R L t - k R R

i 0 = 0 = E - e - k R R ⇒ E - e - k R = 0

E = e - k R

Por consequência:

i ( t ) = E - e - R L t ∙ e - k R R

i ( t ) = E - e - R L t ∙ E R

i ( t ) = E R 1 - e - R L t

Resposta

i ( t ) = E R 1 - e - R L t

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