Enunciado

Resolva cada equação em x .

a ) 2^(x - 5) = 3 b ) ln x + ln (x - 1) = 1

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente resolver as equações (a) 2^(x - 5) = 3 e (b) ln x + ln (x - 1) = 1 em x . Isso significa que temos que encontrar o valor de x em cada uma delas.

Pra isso, vamos aplicar algumas propriedades de logaritmo, simplificar a nossa equação e isolar x .

Vamos lá!

Passo 2

Em a), temos:

2^(x - 5) = 3

Para resolver em x , precisamos deixar o x isolado, certo? Vamos fazer isso aplicando logaritmo de base 2 nos dois lados da igualdade, escolhi a base 2 pois nós temos o 2 elevado ao x - 5 .

log_2 2^(x - 5) = log_2 3

Agora eu vou usar a propriedade log a^b = b log a e log_a a = 1 .

( x - 5 ) log_2 2 = log_2 3

x - 5 = log_2 3

E isolando x , temos:

x = log_2 3 + 5

Passo 3

Em b), temos:

ln x + ln (x - 1) = 1

Aqui vamos usar a propriedade 1 = ln e . Então, temos:

ln x + ln (x - 1) = ln e

ln (x - 1) = ln e - ln x

Agora usando a propriedade ln ((a)/(b)) = ln a - ln b , vamos ter:

ln ( x - 1 ) = ln ((e)/(x))

Como a função logaritmo é injetora, então:

x - 1 = (e)/(x)

-> x^2 - x = e

x^2 - x - e = 0

Agora basta resolver essa equação de segundo grau. Usando Bhaskara, temos:

x = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

x = (1 +- sqrt(1 + 4 e))/(2)

Como x deve ser positivo, de acordo com a nossa equação, temos ln x e o domínio é x > 0 . Então, ficamos apenas com:

x = (1 + sqrt(1 + 4 e))/(2)

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) x = log_2 3 + 5

b) x = (1 + sqrt(1 + 4 e))/(2)

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