Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Capítulo 13.8 - Ex. 1c

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desse livro

1. Resolva a equação dada

C - y ' ' = - 6 x 2 y ,     x > 0

Passo 1

Repare que podemos multiplicar a equação por x 2 ...

x 2 y ' ' = - 6 y   →

x 2 y ' ' + 6 y = 0

Essa é uma EDO de Euler Cauchy, como esta daqui:

x 2 y ' ' + α x y ' + β y = 0

Porém, no nosso caso, α = 0   e   β = 6 . A equação característica que precisamos resolver é:

r 2 + α - 1 r + β = 0

Então substituindo os valores de α e β do nosso caso...

r 2 + 0 - 1 r + 6 = 0   →

r 2 - r + 6 = 0  

Resolvendo essa equação característica por Báskara:

r = 1 ± - 1 2 - 4 ⋅ 6 2 →

r = 1 ± - 23 2 →

r = 1 ± 23 ⋅ - 1 2 →

r = 1 ± 23 i 2 →

r = 1 2 ± 23 2 i

Onde i é a unidade imaginária - 1 , ok? De acordo com a nossa teoria, a resposta da EDO homogênea então será:

y = x λ c 1 cos ⁡ μ ln ⁡ x + c 2 sin ⁡ μ ln ⁡ x   →

Onde λ e μ vem da resposta imaginária r = λ ± μ i . Ou seja, no nosso caso teremos:

y = x 1 / 2 c 1 cos ⁡ 23 2 ln ⁡ x + c 2 sin ⁡ 23 2 ln ⁡ x  

Resposta

y = x 1 / 2 c 1 cos ⁡ 23 2 ln ⁡ x + c 2 sin ⁡ 23 2 ln ⁡ x  

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