Enunciado

Resolva a equação diferencial usando a ) coeficientes a serem determinados e b ) variação dos parâmetros.

19-

y ' ' + 4 y = x

Passo 1

  1. A equação particular para terá a seguinte forma para uma equação do primeiro grau:
  2. y p = A x + B

    Dessa forma vamos resolver a equação homogênea ao resolver a EDO abaixo:

    y ' ' + 4 y = 0

    Cuja equação auxiliar será:

    r 2 + 4 = 0 → r = ± 2 i

    Logo a equação homogênea como raízes complexas será igual a:

    y h = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n   2 x

    Passo 2

    Como a solução tem a cara y = y p + y h vamos simplesmente derivar duas vezes y e comparar com o que foi nos fornecido no enunciado:

    y = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n   2 x + A x + B

    Isso nos dá uma primeira derivada igual a:

    y ' = - 2 c 1 sin ⁡ 2 x + 2 c 2 cos ⁡ 2 x + A

    E uma segunda derivada igual a:

    y ' ' = - 4 c 1 cos ⁡ 2 x - 4 c 2 sin ⁡ 2 x

    Substituindo esses resultados na equação dada no enunciado temos:

    - 4 c 1 cos ⁡ 2 x - 4 c 2 sin ⁡ 2 x + 4 c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n   2 x + A x + B = x

    Isso corta as parcelas trigonométricas e nos deixa com:

    4 A x + 4 B = x

    Isso dá B = 0 e A = 1 4 , logo a solução fica:

    y = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n   2 x + 1 4 x

    Passo 3

  3. Utilizando a solução da equação homogênea y h vamos chamar y 1 = cos ⁡ 2 x   e y 2 = s e n   2 x . Então temos que resolver a equação particular que tem cara de:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

O sistema que temos que resolver é:

u 1 ' y 1 + u 2 ' y 2 = 0

u 1 ' y 1 ' + u 2 ' y 2 ' = x

Substituindo y 1 ,   y 2 e suas derivadas temos:

u 1 ' ( cos ⁡ 2 x ) + u 2 ' s e n 2 x = 0

- 2 u 1 ' s e n   2 x + 2 u 2 ' cos ⁡ 2 x = x

Podemos escrever a primeira equação como:

u 1 ' u 2 ' = - t g ( 2 x )

Substituindo o valor de u 1 ' = - t g 2 x u 2 '

2 t g 2 x s e n 2 x u 2 ' + 2 u 2 ' c o s 2 x = x

u 2 ' 2 s e n 2 2 x cos ⁡ 2 x + 2 cos ⁡ 2 x = x

u 2 ' 2 = x c o s   2 x

u 2 ' = 1 2 x co s ⁡ 2 x

Isso nos dá:

u 1 ' = - t g   2 x   u 2 ' = - x 2 sin ⁡ 2 x

Passo 2

Fazendo a integral em x dessas duas equações nós encontramos:

u 2 = 1 4 x sin ⁡ 2 x + 1 2 cos ⁡ 2 x

u 1 = - 1 4 - x cos ⁡ 2 x + 1 2 sin ⁡ 2 x

Então a equação particular será:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

= - 1 4 - x cos ⁡ 2 x + 1 2 sin ⁡ 2 x × cos ⁡ 2 x + 1 4 x sin ⁡ 2 x + 1 2 cos ⁡ 2 x × ( s e n   2 x )

1 4 x c o s 2   2 x - 1 8 sin ⁡ 2 x   cos ⁡ 2 x + 1 4 x   s e n 2 2 x + 1 8 cos ⁡ 2 x s e n   2 x

y p = 1 4 x

Então a equação de solução é:

y = y p + y h = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n   2 x + 1 4 x

Resposta

y = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n   2 x + 1 4 x

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