Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.7 - Ex. 23
Calcule a integral de superfície para o campo vetorial e superfície orientada .
é a parte da esfera no primeiro octante com orientação para a origem.
Passo 1
O exercício pede para calcularmos o fluxo de sobre a superfície . Nesse caso, é a parte da esfera no primeiro octante. Assim, fazemos a parametrização
Como estamos no primeiro octante:
Além disso, como foi deduzido ao longo da seção do livro logo após a equação 5, o versor normal à superfície é dado por
Nesse caso, e . Além disso, como queremos que a orientação seja para a origem, ele deve apontar para fora, de modo que invertemos seu sinal:
Além disso,
Desta forma,
Fazendo o produto escalar:
Logo,
Além disso, como também foi deduzido no livro, para o caso da esfera:
Logo,
Passo 2
Desta forma,
Como as integrais são independentes:
Para a segunda integral:
Logo,
Já para a outra integral:
Chamamos :
Logo,