1. Resolva a equação

b) d^2x/dt^2 - 2dx/dt + x = 0

Passo 1

Teorema,

  1. s e   λ 1 ≠   λ 2 ,   a   s o l u ç ã o   g e r a l   d a   e q u a ç ã o   h o m o g ê n e a   λ 2 + b λ + c = 0   s e r á  
  2.   x = A e λ 1 t + B e λ 2 t

  3. s e   λ 1 = λ 2 ,   a   s o l u ç ã o   g e r a l   s e r á

x = A e λ 1 t + B t e λ 1 t

Passo 2

aplicando em nossa questão:

d 2 x d t 2 - 2 d x d t + x = 0

Transformando no formato λ 2 + b λ + c = 0 ,

λ 2 - 2 λ + 1 = 0  

Passo 3

Resolvendo...

λ 2 - 2 λ + 1 = 0

( λ - 1 ) ( λ - 1 )

As raízes dessa equação homogênea são,

λ 1 = 1 ,     λ 2 = 1

Pelo teorema, λ 1 = λ 2

Então a solução geral da equação,

x = A e 1 ⋅ t + B t e 1 ⋅ t

Resposta

x = e t A + B t

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