Enunciado

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 11-16 para r como uma função vetorial de t.

Equação diferencial: d 2 r d t 2 = - 32 k

Condição inicial: r 0 = 100 k e d r d t ​ t = 0 = 8 i + 8 j  

Passo 1

Fala minha galera querida!! Precisamos descobrir quem é esse r, para isso vamos rearranjar a equação diferencial dada e usar da condição inicial para resolver o problema, vem comigo.

d 2 r d t 2 = - 32 k

d r d t ⋅ d r d t = - 32 k

Agora temos uma derivação de segundo grau, portanto nossa integral terá duas constantes.

Vamos passar dt para o outro lado:

d r d t d r = - 32 k   d t

E agora integramos dos dois lados:

∫ d r d t d r = ∫ - 32 k   d t

Resolvendo com adição de uma constante C 1 da integral indefinida.

d r d t = - 32 t k + C 1

E a nossa outra constante está na condição inicial:

d r d t 0 = 8 i + 8 j

- 32 ⋅ 0   k + C 1 = 8 i + 8 j

C 1 = 8 i + 8 j

Passo 2

Vamos descobrir agora a outra constante.

A partir do passo anterior temos:

d r d t = - 32 t k + C 1

d r d t = 8 i + 8 j - 32 t k

Vamos passar dt para o outro lado e integrar

∫ d r = ∫ 8 i + 8 j - 32 t k d t

r = 8 t i + 8 t k - 16 t 2 k + C 2

Passo 3

Da condição inicial, sabemos que r 0 = 100 k , então bora substituir para encontrar C 2 .

r ( t ) = 8 t i + 8 t k - 16 t 2 k + C 2

100 k = 8 ⋅ 0   i + 8 ⋅ 0   k - 16 ⋅ 0 2 k + C 2

C 2 = 100 k

Agora sim podemos encontrar a equação r ( t ) :

r t = 8 t i + 8 t k - 16 t 2 k + C 2

r t = 8 t i + 8 t k - 16 t 2 k + 100 k

r t = 8 t i + 8 t k + 100 - 16 t 2 k

E aí está a função vetorial! Bora pro próximo!

Resposta

r t = 8 t i + 8 t k + 100 - 16 t 2 k

Exercícios de Livros Relacionados

Um tanque tem a forma de um paralelepípedo retângulo cuja base tem dimensões 1m e 2m e cuja altura é 1,5m. O tanque está cheio de uma substância com densidade variável. Em cada ponto, a densidade é pr
Nos exercícios de 1 a 7 representar graficamente os seguintes campos vetoriais.4) f → x , y = 2 i →
Nos exercícios de 1 a 7 representar graficamente os seguintes campos vetoriais.5) f → x , y = 2 i → + j
Suponha que a temperatura em um ponto ( x ,y ,z ) do espaço é dada x 2 + y 2 + z 2 . Uma partícula P se move de modo que no tempo t a sua posição é dada por ( t ,t 2 ,t 3 ) .Identificar a função escal
Um tanque tem a forma de um paralelepípedo retângulo cuja base tem dimensões 1m e 2m e cuja altura é 1,5m. O tanque está cheio de uma substância com densidade variável. Em cada ponto, a densidade é pr