Enunciado

a) Resolva o sistema u = x y, y = 2x + y para x e y em termos de u e y. Em seguida, encontre o valor do jacobiano ∂(x, y)/∂(u, y).

b) Encontre a imagem pela transformacao u = x y, y = 2x + y da regiao triangular com vertices (0, 0), (1, 1) e (1, –2) no plano xy. Esboce a regiao transformada no plano uy.

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Então vamos resolver primeiro o sistema dado na letra (a) em que

u = x - y

v = 2 x + y

Somando os dois a gente vai ficar com,

u + v = x - y + 2 x + y = 3 x

Com isso iremos observar que

u = x - y → y = u - x

Com isso ,

x = 1 3 u + v e y = 1 3   ( - 2 u + v )

Agora resolvendo o jacobiano vamos ficar com ,

∂ x , y ∂ ( u , v ) = 1 3 1 3 - 2 3 1 3 = 1 9 + 2 9 = 1 3

Passo 2

Já na letra (b) ele pede para achar a imagem pela transformacao u = x y, y = 2x + y da regiao triangular com vertices (0, 0), (1, 1) e (1, –2) no plano xy

Pegando o segmento da linha y = x para 0,0 e   ( 1,1 ) e x - y = 0 para u = 0 o segmento da linha y = - 2 x para 0,0   e   ( 1 , - 2 ) sendo assim,

2 x + y = 0

x - y + 2 x + y = 3

u + v = 3

Resposta

u + v = 3

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