Enunciado

Responda às perguntas seguintes sobre as funções cujas derivadas são dadas:

  1. Quais são os pontos críticos
  2. Em quais intervalos f é crescente ou decrescente?
  3. Em quais pontos, se houver f assume máximos e mínimos locais?

f ' x = x - 7 . x + 1 . ( x + 5 )

Passo 1

Primeiro, vamos igualar f ' ( x ) a zero para encontrar os pontos críticos:

x - 7 . x + 1 . ( x + 5 ) = 0

x - 7 = 0

x ' = 7

x + 1 = 0

x ' ' = - 1

x + 5 = 0

x ' ' ' = - 5

Pontos críticos: -5 ,-1 e 7

Passo 2

Agora, vamos fazer o estudo do sinal para verificar onde a função cresce e decresce. Beleza?

Logo,

f   é crescente nos intervalos(-5,-1)u(7, +∞)

f   é decrescente no intervalo (-∞,-5) U (-1,7)

Passo 3

No teste da primeira derivada para os extremos locais vale o seguinte:

Seja c um ponto crítico de uma função contínua f e essa função é derivável em qualquer ponto do intervalo que contenha c então:

  1. Se f ' passa de negativa a positiva em c, então f   possui mínimo local em c ;
  2. Se f ' passa de positiva a negativa em c, então f   possui máximo local em c ;
  3. Se f ' não muda de sinal em c, então f não tem extremo local em c

Assim, podemos afirmar que f assume valor máximo local quando x = 1 (pois nesse ponto a função muda de positivo para negativo) e assume valor mínimo local quando x = - 5 e x = 7 (pois nesses pontos a função muda de negativo para positivo)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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