Sabendo que theta = arc sec(2,6) , encontre o valor exato de sen(theta) , cos(theta) , tg(theta) , cotg(theta) e cossec(theta) .

Passo 1

Fala galera, tudo tranquilo? Vamos bater um papo sobre trigonométricas inversas ok? Se:

θ = arc sec ⁡ 2,6

Então θ é o arco cuja secante é 2,6 . Fazendo a inversa da inversa, temos:

sec ⁡ θ = 2,6

Ao invés de tentar achar θ pra usar dentro de sen ⁡ θ , cos ⁡ θ , tg ⁡ θ , cotg ⁡ θ e cossec ⁡ θ , podemos aproveitar essa info pra montar um triângulo auxiliar bacana. Mas antes, vamos reescrever esse resultado usando identidades trigonométricas e frações:

sec ⁡ θ = 2,6

1 cos ⁡ θ = 26 10

cos ⁡ θ = 10 26

cos ⁡ θ = 5 13

Sendo assim, nosso triângulo fica:

Dessa forma, confirmamos o valor exato do cosseno em! E por Pitágoras, achamos o cateto que falta:

13 2 = 5 2 + C 2

169 = 25 + C 2

C 2 = 144

C = 12

Passo 2

Agora galera, a gente mete bronca usando o triângulo auxiliar, ok? Seja:

sen ⁡ θ = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a

cos ⁡ θ = c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a

tg ⁡ θ = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e

cotg ⁡ θ = 1 tg ⁡ θ

cossec ⁡ θ = 1 sen ⁡ θ

Vamos ter:

sen ⁡ θ = 12 13

cos ⁡ θ = 5 13

tg ⁡ θ = 12 5

cotg ⁡ θ = 5 12

cossec ⁡ θ = 13 12

Resposta

sen ⁡ θ = 12 13

cos ⁡ θ = 5 13

tg ⁡ θ = 12 5

cotg ⁡ θ = 5 12

cossec ⁡ θ = 13 12

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