Enunciado

Sabendo que theta = arc sec (2,6) , encontre o valor exato de sen (theta) , cos (theta) , tg (theta) , cotg (theta) e cossec (theta) .

Passo 1

Fala galera, tudo tranquilo? Vamos bater um papo sobre trigonométricas inversas ok? Se:

theta = arc sec (2,6)

Então theta é o arco cuja secante é 2,6 . Fazendo a inversa da inversa, temos:

sec (theta) = 2,6

Ao invés de tentar achar theta pra usar dentro de sen (theta) , cos (theta) , tg (theta) , cotg (theta) e cossec (theta) , podemos aproveitar essa info pra montar um triângulo auxiliar bacana. Mas antes, vamos reescrever esse resultado usando identidades trigonométricas e frações:

sec (theta) = 2,6

(1)/(cos (theta)) = (26)/(10)

cos (theta) = (10)/(26)

cos (theta) = (5)/(13)

Sendo assim, nosso triângulo fica:

Dessa forma, confirmamos o valor exato do cosseno em! E por Pitágoras, achamos o cateto que falta:

13^2 = 5^2 + C^2

169 = 25 + C^2

C^2 = 144

C = 12

Passo 2

Agora galera, a gente mete bronca usando o triângulo auxiliar, ok? Seja:

sen (theta) = (c a t e t o o p o s t o)/(h i p o t e n u s a)

cos (theta) = (c a t e t o a d j a c e n t e)/(h i p o t e n u s a)

tg (theta) = (c a t e t o o p o s t o)/(c a t e t o a d j a c e n t e)

cotg (theta) = (1)/(tg (theta))

cossec (theta) = (1)/(sen (theta))

Vamos ter:

sen (theta) = (12)/(13)

cos (theta) = (5)/(13)

tg (theta) = (12)/(5)

cotg (theta) = (5)/(12)

cossec (theta) = (13)/(12)

Resposta

sen (theta) = (12)/(13)

cos (theta) = (5)/(13)

tg (theta) = (12)/(5)

cotg (theta) = (5)/(12)

cossec (theta) = (13)/(12)

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