Enunciado

9. Sabe-se que y = c 1 e x cos ⁡ x + c 2 e x s e n   x é uma família a dois parâmetros de soluções para y ' ' - 2 y ' + 2 y = 0 no intervalo - ∞ ,   ∞ . Encontre, se existir, um membro dessa família que satisfaça as condições:

a) y 0 = 1 , y ' 0 = 0

b) y 0 = 1 ,   y π = - 1

c) y 0 = 1 ,   y π 2 = 1

d) y 0 = 0 ,   y π = 0 .

Passo 1

Então galera, a solução que nos foi dada é essa:

y = c 1 e x cos ⁡ x + c 2 e x s e n   x

Além de que:

y ' ' - 2 y ' + 2 y = 0

Se derivarmos nossa solução, teremos:

y ' = c 1 e x cos ⁡ x - e x s e n   x + c 2 e x s e n   x + e x cos ⁡ x

Show! Agora que encontramos y ' vamos aplicar as condições da questão!

Passo 2

a) Aplicando as condições iniciais y 0 = 1 , y ' 0 = 0 , teremos:

y = c 1 e x cos ⁡ x + c 2 e x s e n   x

1 = c 1

Aplicando a segunda condição agora:

y ' = c 1 e x cos ⁡ x - e x s e n   x + c 2 e x s e n   x + e x cos ⁡ x

0 = c 1 1 - 0 + c 2 0 + 1

c 2 = - c 1

∴ c 2 = - 1

O que nos dá como solução:

y = e x cos ⁡ x - e x s e n   x

Passo 3

b) Aplicando as condições iniciais y 0 = 1 ,   y π = - 1 , teremos:

y = c 1 e x cos ⁡ x + c 2 e x s e n   x

1 = c 1

Aplicando a segunda condição agora:

y = c 1 e x cos ⁡ x + c 2 e x s e n   x

- 1 = - c 1 e π

Ou seja, não é um resultado possível. Então não temos solução para essa condição.

Passo 4

c) Aplicando as condições iniciais y 0 = 1 ,   y π 2 = 1 , teremos:

y = c 1 e x cos ⁡ x + c 2 e x s e n   x

1 = c 1

Aplicando a segunda condição agora:

y = c 1 e x cos ⁡ x + c 2 e x s e n   x

1 = 0 + c 2 e π 2

∴ c 2 = 1 e π 2

O que nos dá como solução:

y = e x cos ⁡ x + 1 e π 2 e x s e n   x

Passo 5

d) Aplicando as condições iniciais y 0 = 0 ,   y π = 0 , teremos:

y = c 1 e x cos ⁡ x + c 2 e x s e n   x

0 = c 1

Aplicando a segunda condição agora:

y = c 1 e x cos ⁡ x + c 2 e x s e n   x

0 = - c 1 e π

E isso nos diz que c 2 é arbitrário, ou seja, qualquer valor de c 2 serve! O que nos dá como solução:

y = c 2 e x s e n   x

Resposta

a) y = e x cos ⁡ x - e x s e n   x

b) Não há solução.

c) y = e x cos ⁡ x + 1 e π 2 e x s e n   x

d) y = c 2 e x s e n   x

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Resolva a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros. y ' ' + 3 y ' + 2 y = s e n ( e x )
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Resolva a equação diferencial usando Coeficientes indeterminados eVariação de parâmetros. y ' ' - 2 y ' + y = e 2 x
Determine os valores do parâmetro λ para os quais o problema de valor de contorno: y ' ' + λ 2 y = 0 ,   y 0 = 0 ,   y 5 = 0 Possua soluções não triviais. Veja o problema 13.
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