Enunciado

A altura h da água que está fluindo através de um orifício no fundo de um tanque cilíndrico é dada por:

d h d t = - A 0 A w 2 g h ,     g = 32 . m s 2

Em que A w e A 0 são as áreas das seções transversais da água e do orifício, respectivamente (veja exemplo 8, seção 1.2). Resolva a equação se a altura inicial da água era 20 m , A w = 50 m 2 e A 0 = 1 4 m 2 . Quando o tanque estará vazio?

Passo 1

Então pessoal, a equação diferencial que nos foi dada é a seguinte:

d h d t = - A 0 A w 2 g h

Como - A 0 A w . 2 g é constante, então vamos chamar tudo isso de k , beleza? Se fizermos isso, teremos:

d h h 1 2 = k d t

h - 1 2 d h = k d t

Então o que precisamos fazer agora é integrar ambos os lados e resolver o que a questão pede!

Passo 2

Integrando:

∫ h - 1 2 d h = k ∫ d t

Resolvendo, teremos:

2 h 1 2 = k t + c

Isolando h , teremos:

h = k t 2 + c 2

Voltando para k original, teremos:

h = - A 0 2 A w . 2 g t + c 2

Show!

Passo 3

Substituindo os valores g = 32 . m s 2 , A w = 50 m 2 , A 0 = 1 4 m 2 e h 0 = 20 m , teremos:

20 = - 1 4 1 2.50 . 64 . 0 + c 2

c = 20

Então nossa expressão será:

h t = - t 50 + 20 2

O tanque estará vazio quando h = 0 , então:

0 = - t 50 + 20

∴ t = 50 20 s

E está aí nossa resolução!

Resposta

h t = - t 50 + 20 2

O tanque estará vazio quando: t = 50 20 s

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Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x e y y ' - 2 e y = x 2
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Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. y ' ' + tg ⁡ x y ' = 0