Enunciado

Seguindo a orientação do Exercício 45 , use a identidade da diferença dos cossenos

cos ⁡ α - cos ⁡ β = - 2 sen ⁡ α - β 2 sen ⁡ α + β 2

para mostrar que d d x cos ⁡ x = - sen ⁡ x .

Passo 1

Vamos lá, vamos calcular a derivada do cosseno pela fórmula abaixo:

f ' x = lim w → x ⁡ f w - f x w - x

Vamos então substituir nossa função cosseno:

f ' x = lim w → x ⁡ f w - f x w - x = lim w → x ⁡ cos ⁡ w - cos ⁡ x w - x

Passo 2

Agora vamos usar a identidade da diferença dos cossenos:

cos ⁡ α - cos ⁡ β = - 2 sen ⁡ α - β 2 sen ⁡ α + β 2

Substituindo a gente fica com:

f ' x = lim w → x ⁡ cos ⁡ w - cos ⁡ x w - x = lim w → x ⁡ - 2 sen ⁡ w - x 2 sen ⁡ w + x 2 w - x =

= lim w → x ⁡ - 2 sen ⁡ w - x 2 w - x ⋅ sen ⁡ w + x 2

Passo 3

Pronto, agora vamos manipular um pouco esse limite, pra ficar mais simples de resolver esse limite vamos fazer uma substituição:

z = w - x → w = z + x

Vamos substituir então:

f ' x = lim w → x ⁡ - 2 sen ⁡ w - x 2 w - x ⋅ sen ⁡ w + x 2 = lim z → 0 ⁡ - 2 sen ⁡ z 2 z ⋅ sen ⁡ z + x + x 2 =

= lim z → 0 ⁡ - 2 sen ⁡ z 2 z ⋅ sen ⁡ z + 2 x 2

Pra ficar mais simples vamos multiplicar e dividir a primeira equação do limite por 2 , pra ficar com cara de um limite que já conhecemos:

f ' x = lim z → 0 ⁡ - 2 sen ⁡ z 2 z ⋅ sen ⁡ z + 2 x 2 = lim z → 0 ⁡ - 2 sen ⁡ z 2 2 z 2 ⋅ sen ⁡ z + 2 x 2 =

= lim z → 0 ⁡ - sen ⁡ z 2 z 2 ⋅ sen ⁡ z + 2 x 2 = lim z → 0 ⁡ - sen ⁡ z 2 z 2 ⋅ lim z → 0 ⁡ sen ⁡ z + 2 x 2 =

= - lim z → 0 ⁡ sen ⁡ z 2 z 2 ⋅ lim z → 0 ⁡ sen ⁡ z + 2 x 2

Passo 4

Pronto, o primeiro limite é o limite fundamental:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1

Assim agora é só aplicar o valor do limite:

f ' x = - lim z → 0 ⁡ sen ⁡ z 2 z 2 ⋅ lim z → 0 ⁡ sen ⁡ z + 2 x 2 = - 1 ⋅ sen ⁡ 0 + 2 x 2 = - sen ⁡ 2 x 2 = - sen ⁡ x

Assim mostramos que d d x cos ⁡ x = - sen ⁡ x .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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