Enunciado

Uma anuidade é uma sequência de pagamentos iguais que são pagos ou recebidos em intervalos regulares de tempo. Por exemplo, podemos querer depositar quantias iguais ao final de cada ano em uma poupança, a fim de acumular uma certa quantia em algum momento no futuro. Se, ao final de cada ano, forem acrescentados juros de i × 100% sobre o saldo da conta, então dizemos que a poupança paga i × 100% de juros, compostos anualmente. Pode-se mostrar que, se os depósitos de Q reais forem feitos ao final de cada ano, em uma poupança que paga i × 100% compostos anualmente, então, por ocasião do enésimo depósito e já depositados os juros do ano anterior, a quantia S(n) na poupança é dada pela fórmula

S n = Q i 1 + i n - 1

Suponha que queiramos depositar $ 5.000 em uma poupança ao final de cada ano, com o objetivo de acumular $250.000 no 25° depósito. Qual é a taxa de juros compostos a ser paga para que possamos atingir essa meta? [Sugestão : Mostre que a taxa de juros i satisfaz a equação 50 i = 1 + i 25 e resolva-a usando o Método de Newton.]

Passo 1

Fala aí!! Tudo joia?

Enunciado grande esse hein?! Hahaha...

Mas calma, vamos por partes... Primeiramente, vamos usar essa sugestão né?

Pelo enunciado, a gente tem que:

S 25 = 5000 i 1 + i 25 - 1 = 250   000

E aí simplificando, a gente tem:

f i = 50 i - 1 + i 25 + 1

E agora a gente que achar uma raiz pra essa função...

Passo 2

Aí a gente vai apelar pro método de Newton...

Para usar o método de Newton, a gente faz:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos precisar derivar:

f ' i = 50 - 25 1 + i 24

Olhando o gráfico a gente tem uma ideia de onde tá essa raiz:

A gente vai usar i 1 = 0,05 pra jogar na fórmula e aproximar então. Bora lá!

Passo 3

Aplicando no método de Newton, temos:

i 2 = 0,05 - 50 0,05 - 1 + 0,05 25 + 1 50 - 25 1 + 0,05 24 = 0,05371 …

i 3 = 0,053365 …

i 4 = 0,053362 …

Prontinho! A taxa de juros é de aproximadamente 0,053362 😉

Resposta

0,053362

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Nos exercícios de 3 a 16, ache a derivada da função dada. 6 . f x = 4 sec ⁡ x - 2 c o s e c ( x )
33. Determine y ' ' se b. y = sec ⁡ x
33. Determine y ' ' se a. y = cossec ⁡ x
Determine y ( 4 ) = d 4 y d x 4 Se y=- 2s e nx