Enunciado

Qual das seguintes funções cresce mais rapidamente do que x 2 quando x → ∞ ? Qual cresce à mesma taxa que x 2 ? E qual cresce mais lentamente?

  1. x 2 + 4 x
  2. x 5 - x 2
  3. x 4 + x 3
  4. x + 3 2
  5. x ln ⁡ x
  6. 2 x
  7. x 3 e - x
  8. 8 x 2

Passo 1

Bom, o enunciado pele para verificar quais funções crescem mais rapidamente que x 2 quando x → ∞ ? Quais crescem à mesma taxa que x 2 ? E quais crescem mais lentamente?

Para isso, vamos precisar lembrar da definição das taxas relativas de crescimento

Taxas de crescimento quando x → ∞

Sejam f ( x ) e g ( x ) positivas para um x suficientemente grande.

  1. f cresce mais rapidamente do que g quando x → ∞ se
  2. lim x → ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) =   ∞

    ou, de modo equivalente, se

    lim x → ∞ ⁡ g ( x ) f ( x ) =   0

    Dizemos também que g cresce mais lentamente do que f quando x → ∞ .

  3. f e g crescem à mesma taxa quando x → ∞

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) =   L

onde L é finito e positivo.

  1. O item a, pede para verificar a função x 2 + 4 x   em relação a x 2 . Vamos verificar:
  2. lim x → ∞ ⁡ x 2 + 4 x x 2

    Como temos uma indeterminação vamos aplicar a regra de L’Hospital:

    lim x → ∞ ⁡ 2 x + 4 e x =     lim x → ∞ ⁡ 2 2 =     lim x → ∞ ⁡ 1 =     1

    Logo, o item a, cresce à mesma taxa que x 2

    Passo 2

  3. Vamos calcular o limite:
  4. lim x → ∞ ⁡ x 5 - x 2 x 2

    =   lim x → ∞ ⁡ x 3 - 1 =   ∞

    Logo, o item b, cresce mais rapidamente

    Passo 3

  5. Vamos verificar:
  6. lim x → ∞ ⁡ x 4 + x 3 x 2

    Vamos aplicar a raiz em todo o limite:

    lim x → ∞ ⁡ x 4 + x 3 x 2

    =   lim x → ∞ ⁡   1 + 1 x =   1 = 1

    Logo, o item c, cresce à mesma taxa que x 2

    Passo 4

  7. Vamos verificar:
  8. lim x → ∞ ⁡ x + 3   2 x 2

    Como temos uma indeterminação vamos aplicar a regra de L’Hospital:

    = lim x → ∞ ⁡ 2 ( x + 3 ) 2 x =   lim x → ∞ ⁡ 2 2 = 1

    Portanto cresce à mesma taxa que x 2

    Passo 5

  9. Vamos verificar:
  10. lim x → ∞ ⁡ x l n   x   x 2 =   lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x   x x = 0  

    Logo, o item e, cresce mais lentamente

    Passo 6

  11. Vamos verificar:
  12. lim x → ∞ ⁡ 2 x x 2 =   lim x → ∞ ⁡ ( ln ⁡ 2 )   2 x 2 x = lim x → ∞ ⁡ ( ln ⁡ 2   ) 2 2 x 2 = ∞

    Logo, o item f, cresce mais rapidamente

    Passo 7

  13. Vamos verificar:
  14. lim x → ∞ ⁡ x 3 e - x x 2 =   lim x → ∞ ⁡ x e x =   lim x → ∞ ⁡ 1 e x = 0

    Logo, o item g, cresce mais lentamente

    Passo 8

  15. Verificando, temos:

lim x → ∞ ⁡ 8 x 2 x 2 =   lim x → ∞ ⁡ 8 = 8  

Portanto, o item h, cresce a mesma taxa

Resposta

Crescem mais lentamente: e

Crescem mais rapidamente: b, f

Crescem à mesma taxa: a,c,d,h

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstre que x 4 + x e x 4 - x 3 crescem à mesma taxa quando x → ∞ mostrando que ambas crescem à mesma taxa que x 2 quando x → ∞ .
Em que condições um polinômio de f ( x ) é de ordem menor do que um polinômio g ( x ) quando x → ∞ ?
Investigue: lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( x + 1 ) ln ⁡ x e lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( x + 999 ) ln ⁡ x Use a regra de L’Hospital para explicar o que descobriu.
A função e x cresce mais rapidamente que qualquer polinômio. Demonstre que quando x → ∞ e x cresce mais rapidamente que qualquer polinômio.
Mostre que o valor de : lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( x + a ) ln ⁡ x é o mesmo, não importando o valor que você atribui à constante a. O que isso nos diz sobre as taxas relativas às quais as funções f x = ln ⁡ (