Enunciado

4. Seja f x = ∑ n = 1 ∞ x x 2 + n 2 . Justifique a igualdade

∫ 0 1 f x d x = 1 2 ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ 1 + 1 n 2 .

Passo 1

Seja f x = ∑ n = 1 ∞ x x 2 + n 2 . Temos que x x 2 + n 2 ≤ 1 n 2 ,   x ∈ 0,1 .

Como a série harmônica ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 é convergente, segue, pelo critério M de Weierstrass que a série ∑ n = 1 ∞ x x 2 + n 2 é uniformemente convergente em [0,1].

As funções f n x = x x 2 + n 2 são contínuas em R e, então, em [0,1]. Segue, do Teorema 1 da seção 7.4 que f é contínua em [0,1]. Nestas condições, pelo Teorema 2 da Seção 7.4, os símbolos ∫ 0 1 e ∑ n = 1 ∞ p o d e m ser permutados.

Passo 2

Daí,

∫ 0 1 f x d x = ∫ 0 1 ∑ n = 1 ∞ x x 2 + n 2 d x = ∑ n = 1 ∞ ∫ 0 1 x x 2 + n 2 d x =

= ∑ n = 1 ∞ [ 1 2 ln ⁡ ( x 2 + n 2 ] 0 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 2 ln ⁡ 1 + 1 n 2  

Portanto,

∫ 0 1 f x d x = 1 2 ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n 2 + 1 n 2

Resposta

Demonstração

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