Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.9 - Ex. 18
Seja . Determine o fluxo de através da parte do paraboloide que está acima do plano e está orientada para baixo.
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Pra calcular o fluxo através dessa superfície teríamos que pegar uma parametrização mega chatinha e a cara desse campo não ajuda muita coisa rs.
Pra fazer essa integral vamos usar a seguinte estratégia
Só que o enunciado nos deu uma superfície aberta que é o paraboloide para (acima do plano ).
Para fechar a superfície parece que é mais simples pegar a parábola que está no plano . Assim a nossa igualdade fica
Então o que o enunciado pede é dado por
Então temos que calcular essas duas coisas.
Passo 2
Vamos calcular o divergente do campo :
Certo? Agora vamos ver a região de integração!
Passo 3
A região de integração é um paraboloide:
Em coordenadas cilíndricas temos:
Então
No topo do paraboloide o raio da seção reta é nulo e na sua base (acima do plano ) o raio é .
Assim, os limites de integração vão ser:
E o diferencial de volume vai ser
Agora é só montar e fazer a integral!
Passo 4
Agora vamos olhar a segunda integral
Na parábola que está no plano . Fazendo na equação do paraboloide
Que é uma circunferência de raio !
O vetor é dado por
Que aponta na direção por que tem que apontar para fora da região.
Já o vetor em é dado por
Assim o produto escalar é dado por é dado por
Ficou bem maiiiiss simples, não foi?! :D
A nossa integral então vai ser
Passo 5
Juntando tudo então
Belezinha? 😉
Resposta
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