Enunciado

Seja F → x , y , z = z t g - 1 y 2 i → + z 3 ln ⁡ x 2 + 1 j → + z k → . Determine o fluxo de F → através da parte do paraboloide x 2 + y 2 + z = 2 que está acima do plano z = 1 e está orientada para baixo.

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra calcular o fluxo através dessa superfície teríamos que pegar uma parametrização mega chatinha e a cara desse campo não ajuda muita coisa rs.

Pra fazer essa integral vamos usar a seguinte estratégia

∯ F → ⋅ d S → = ∭ ∇ F → d V

Só que o enunciado nos deu uma superfície aberta que é o paraboloide x 2 + y 2 + z = 2 para z > 1 (acima do plano z = 1 ).

Para fechar a superfície parece que é mais simples pegar a parábola que está no plano z = 1 . Assim a nossa igualdade fica

∫ p a r a b o l o i d e F → d S → + ∫ p a r a b o l a F → d S → = ∭ ∇ F → d V

Então o que o enunciado pede é dado por

I = ∭ ∇ F → d V - ∫ p a r a b o l a F → d S →

Então temos que calcular essas duas coisas.

Passo 2

Vamos calcular o divergente do campo F → :

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x z t g - 1 y 2   + ∂ ∂ y z 3 ln ⁡ x 2 + 1 + ∂ ∂ z z = 1

Certo? Agora vamos ver a região de integração!

Passo 3

A região de integração é um paraboloide:

z = 2 - x 2 - y 2 z = 1

Em coordenadas cilíndricas temos:

x = r c o s θ y = r s e n θ z = z

Então

z = 2 - r 2 z = 1

No topo do paraboloide o raio da seção reta é nulo e na sua base (acima do plano z = 1 ) o raio é 1 = 2 - r 2 → r = 1 .

Assim, os limites de integração vão ser:

0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2 π 1 ≤ z ≤ 2 - r 2

E o diferencial de volume vai ser d V = r d z d r d θ

Agora é só montar e fazer a integral!

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 1 2 - r 2 1 r d z d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r - r 3 d r d θ = ∫ 0 2 π r 2 2 - r 4 4 0 1 d θ

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 1 4 ∫ 0 2 π d θ = 1 4 . 2 π = π 2

Passo 4

Agora vamos olhar a segunda integral

∫ p a r a b o l a F → ⋅ d S →

Na parábola que está no plano z = 1 . Fazendo z = 1 na equação do paraboloide

x 2 + y 2 + z = 2 → x 2 + y 2 + 1 = 2

x 2 + y 2 = 1

Que é uma circunferência de raio 1 !

O vetor d S → é dado por

d S → = - d S k ^

Que aponta na direção - k ^ por que tem que apontar para fora da região.

Já o vetor F → em z = 1 é dado por

F → z = 1 = t g - 1 y 2 i → + ln ⁡ x 2 + 1 j → + k →

Assim o produto escalar é dado por F → ⋅ d S → é dado por

F → ⋅ d S → = t g - 1 y 2 i → + ln ⁡ x 2 + 1 j → + k → ⋅ - d S k ^ = - d S

Ficou bem maiiiiss simples, não foi?! :D

A nossa integral então vai ser

∫ p a r a b o l a F → ⋅ d S → = - ∫ x 2 + y 2 ≤ 1 d S = - π 1 2 = - π

Passo 5

Juntando tudo então

I = ∭ ∇ F → d V - ∫ p a r a b o l a F → d S → = π 2 -   ( - π )

I = 3 π 2

Belezinha? 😉

Resposta

I = 3 π 2

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